Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\int\left(2 z^{2}-3\right)^{5} z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(2z^{2}-3\bigr)^{5}\,z\,dz
usando a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável que simplifique a parte dentro do parêntesis elevado à quinta potência.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2z^{2} - 3.
Diferenciando ambos os lados, temos
du = 4z\,dz \quad\Longrightarrow\quad z\,dz = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int\bigl(2z^{2}-3\bigr)^{5}\,z\,dz = \int u^{5}\,\bigl(\tfrac{1}{4}\,du\bigr) = \tfrac{1}{4}\int u^{5}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\tfrac{1}{4}\int u^{5}\,du = \tfrac{1}{4}\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{u^{6}}{24} + C.

Passo 5

Voltando à variável z, substituímos u = 2z^{2}-3:
\frac{u^{6}}{24} + C = \frac{\bigl(2z^{2}-3\bigr)^{6}}{24} + C.

Resposta

\frac{\bigl(2z^{2}-3\bigr)^{6}}{24} + C

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