(b) Use \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} para resolver \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} para as seguintes escolhas de \mathbf{b} :
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}.
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}.
(a) verificar que a matriz dada é, de fato, a inversa de \mathbf{A};
(b) usar \mathbf{A}^{-1} para resolver o sistema \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} para dois vetores \mathbf{b}:
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T};
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}.
Informações relevantes que temos: a definição de inversa (uma matriz \mathbf{B} é inversa de \mathbf{A} se \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I} e \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}, onde \mathbf{I} é a matriz identidade) e a matriz \mathbf{A}^{-1} explícita que foi fornecida no enunciado.
Passo 2
Explicação didática rápida sobre verificação de inversa e multiplicação de matrizes (mini-aula amiga).
A definição prática que vamos usar: para verificar que uma matriz \mathbf{B} é a inversa de \mathbf{A} basta calcular \mathbf{A}\mathbf{B} (ou \mathbf{B}\mathbf{A}) e verificar que o resultado é a matriz identidade \mathbf{I}_3.
Como multiplicar: cada entrada (i,j) do produto \mathbf{A}\mathbf{B} é o produto escalar (dot product) da i-ésima linha de \mathbf{A} com a j-ésima coluna de \mathbf{B}. Ou seja, se a linha é (a_1,a_2,a_3) e a coluna é (b_1,b_2,b_3)^T, então a entrada é a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Vamos aplicar isso termo a termo, sem pular contas.
Portanto a matriz fornecida é mesmo a inversa de \mathbf{A}. (Esse é o critério; não precisamos também calcular \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} porque a existência da inversa é única e a verificação por um dos lados já confirma neste contexto.)
Passo 4
Como usar a inversa para resolver o sistema \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Teoria rápida e prática: se \mathbf{A} é invertível então a solução única do sistema é
\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}.
Para calcular \mathbf{x} fazemos multiplicação matriz-vetor: cada componente x_i é o produto escalar da i-ésima linha de \mathbf{A}^{-1} com o vetor \mathbf{b}.