Exercício 48 Seja
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right]
(a) Verifique que
\mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right]
(b) Use \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} para resolver \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} para as seguintes escolhas de \mathbf{b} :
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}.
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right]
e afirma que a inversa é
\mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right].
O que ele pede:
  • (a) verificar que a matriz dada é, de fato, a inversa de \mathbf{A};
  • (b) usar \mathbf{A}^{-1} para resolver o sistema \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} para dois vetores \mathbf{b}:
    (i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T};
    (ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}.
Informações relevantes que temos: a definição de inversa (uma matriz \mathbf{B} é inversa de \mathbf{A} se \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I} e \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}, onde \mathbf{I} é a matriz identidade) e a matriz \mathbf{A}^{-1} explícita que foi fornecida no enunciado.

Passo 2

Explicação didática rápida sobre verificação de inversa e multiplicação de matrizes (mini-aula amiga).
  • A definição prática que vamos usar: para verificar que uma matriz \mathbf{B} é a inversa de \mathbf{A} basta calcular \mathbf{A}\mathbf{B} (ou \mathbf{B}\mathbf{A}) e verificar que o resultado é a matriz identidade \mathbf{I}_3.
  • Como multiplicar: cada entrada (i,j) do produto \mathbf{A}\mathbf{B} é o produto escalar (dot product) da i-ésima linha de \mathbf{A} com a j-ésima coluna de \mathbf{B}. Ou seja, se a linha é (a_1,a_2,a_3) e a coluna é (b_1,b_2,b_3)^T, então a entrada é a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Vamos aplicar isso termo a termo, sem pular contas.

Passo 3

Verificação direta calculando \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}.
Escrevendo as matrizes:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right],\qquad \mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right].
Calculamos o produto linha por coluna:
Primeira linha de \mathbf{A} é (1,0,1).
  • Entrada (1,1):
1\cdot 1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1.
  • Entrada (1,2):
1\cdot 2 + 0\cdot 1 + 1\cdot(-2) = 2 + 0 -2 = 0.
  • Entrada (1,3):
1\cdot(-3) + 0\cdot(-1) + 1\cdot 3 = -3 + 0 +3 = 0.
Segunda linha de \mathbf{A} é (3,3,4).
  • Entrada (2,1):
3\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 4\cdot 0 = 3 -3 + 0 = 0.
  • Entrada (2,2):
3\cdot 2 + 3\cdot 1 + 4\cdot(-2) = 6 + 3 -8 = 1.
  • Entrada (2,3):
3\cdot(-3) + 3\cdot(-1) + 4\cdot 3 = -9 -3 +12 = 0.
Terceira linha de \mathbf{A} é (2,2,3).
  • Entrada (3,1):
2\cdot 1 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 0 = 2 -2 +0 = 0.
  • Entrada (3,2):
2\cdot 2 + 2\cdot 1 + 3\cdot(-2) = 4 +2 -6 = 0.
  • Entrada (3,3):
2\cdot(-3) + 2\cdot(-1) + 3\cdot 3 = -6 -2 +9 = 1.
Colocando tudo:
\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\mathbf{I}_3.
Portanto a matriz fornecida é mesmo a inversa de \mathbf{A}. (Esse é o critério; não precisamos também calcular \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} porque a existência da inversa é única e a verificação por um dos lados já confirma neste contexto.)

Passo 4

Como usar a inversa para resolver o sistema \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  • Teoria rápida e prática: se \mathbf{A} é invertível então a solução única do sistema é
\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}.
  • Para calcular \mathbf{x} fazemos multiplicação matriz-vetor: cada componente x_i é o produto escalar da i-ésima linha de \mathbf{A}^{-1} com o vetor \mathbf{b}.
Vamos aplicar para cada \mathbf{b} dado.

Passo 5

Caso (i): \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}.
Escrevendo \mathbf{A}^{-1} e \mathbf{b}:
\mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right],\qquad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{array}\right].
Multiplicando linha a linha:
  • x_1 (primeira linha com \mathbf{b}):
x_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-3)\cdot 1 = 1 + 2 -3 = 0.
  • x_2 (segunda linha com \mathbf{b}):
x_2 = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = -1 +1 -1 = -1.
  • x_3 (terceira linha com \mathbf{b}):
x_3 = 0\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 0 -2 +3 = 1.
Logo a solução é
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{array}\right].
Uma checagem rápida (opcional na prova): multiplicar \mathbf{A}\mathbf{x} deve dar \mathbf{b}. De fato,
\mathbf{A}\left[\begin{array}{r}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 6

Caso (ii): \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}.
Escrevendo \mathbf{b}:
\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{array}\right].
Multiplicando \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}:
  • x_1:
x_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + (-3)\cdot 3 = 1 +4 -9 = -4.
  • x_2:
x_2 = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 3 = -1 +2 -3 = -2.
  • x_3:
x_3 = 0\cdot 1 + (-2)\cdot 2 + 3\cdot 3 = 0 -4 +9 = 5.
Portanto
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}-4\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{array}\right].
E, se quiser checar, \mathbf{A}\begin{pmatrix}-4\\\ -2\\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, conferindo que está correto.]

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{array}\right]
(ii) \displaystyle \mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}-4\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{array}\right]]

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