Exercício 46 Resolva cada um dos sitemas a seguir.
\left\{\begin{aligned}x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =1 \\\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =3 \\\ -x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =7\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para encontrar os valores de x_1, x_2 e x_3. As equações são:
\begin{aligned} x_{1}+2x_{2}-x_{3} &= 1,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+x_{3} &= 3,\\[4pt] - x_{1}+2x_{2}+3x_{3} &= 7.
Informações relevantes que temos:
  • Três equações, três incógnitas: esperamos uma solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções (vai depender das operações).
  • Coeficientes e termos independentes estão todos explícitos nas equações acima.
    O objetivo é determinar os valores de x_1, x_2 e x_3.]

Passo 2

Vou usar eliminação (método de Gauss) para resolver o sistema. Explicando rapidinho o método (sem formalidade chata): montamos a matriz aumentada do sistema e aplicamos operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para triangularizar a matriz — isto é, deixar zeros abaixo dos pivôs — e então resolver por retro-substituição. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada (coeficientes e os termos à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 3 & 7 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação: primeira linha \leftrightarrow primeira equação, etc. O primeiro pivô natural é o 1 na posição (1,1).]

Passo 4

Eliminar x_1 das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \;[2,\,-1,\,1 \mid 3] - 2\cdot[1,\,2,\,-1 \mid 1] = [0,\,-5,\,3 \mid 1].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + R_1 (porque R_3 tem -1 em x_1):
R_3: \;[-1,\,2,\,3 \mid 7] + [1,\,2,\,-1 \mid 1] = [0,\,4,\,2 \mid 8].
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 2 & 8 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora o pivô da segunda coluna está em R_2 com valor -5. Para simplificar os cálculos, vou transformar esse pivô em 1 dividindo a linha por -5:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-5}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = \left[0,\,1,\,-\tfrac{3}{5}\mid -\tfrac{1}{5}\right].
Fica a matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] 0 & 4 & 2 & 8 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminar x_2 das outras linhas usando o pivô 1 em R_2.
  • Para R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Calculemos termo a termo:
R_1: [1,\,2,\,-1 \mid 1] - 2\cdot\left[0,\,1,\,-\tfrac{3}{5}\mid -\tfrac{1}{5}\right] = [1,\,0,\, -1 + \tfrac{6}{5} \mid 1 + \tfrac{2}{5}].
Simplificando:
-1 + \tfrac{6}{5} = -\tfrac{5}{5} + \tfrac{6}{5} = \tfrac{1}{5},\qquad 1 + \tfrac{2}{5} = \tfrac{7}{5}.
Logo R_1 = [1,\,0,\,\tfrac{1}{5} \mid \tfrac{7}{5}].
  • Para R_3: R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2.
R_3: [0,\,4,\,2 \mid 8] - 4\cdot\left[0,\,1,\,-\tfrac{3}{5}\mid -\tfrac{1}{5}\right] = [0,\,0,\, 2 + \tfrac{12}{5} \mid 8 + \tfrac{4}{5}].
Simplificando:
2 + \tfrac{12}{5} = \tfrac{10}{5} + \tfrac{12}{5} = \tfrac{22}{5},\qquad 8 + \tfrac{4}{5} = \tfrac{40}{5} + \tfrac{4}{5} = \tfrac{44}{5}.
Logo R_3 = [0,\,0,\,\tfrac{22}{5} \mid \tfrac{44}{5}].
A matriz triangular final é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{5}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{22}{5} & \tfrac{44}{5} \end{array}\right]]

Passo 7

A terceira linha dá diretamente x_3. A equação correspondente é
\tfrac{22}{5}x_3 = \tfrac{44}{5}.
Para isolar x_3, divide-se por \tfrac{22}{5}:
x_3 = \frac{\tfrac{44}{5}}{\tfrac{22}{5}} = \frac{44}{22} = 2.

Passo 8

Agora retro-substituir para encontrar x_2. Da segunda linha temos
x_2 - \tfrac{3}{5}x_3 = -\tfrac{1}{5}.
Substituindo x_3 = 2:
x_2 - \tfrac{3}{5}\cdot 2 = -\tfrac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad x_2 - \tfrac{6}{5} = -\tfrac{1}{5}.
Logo
x_2 = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{6}{5} = \tfrac{5}{5} = 1.

Passo 9

Finalmente, encontrar x_1 pela primeira linha:
x_1 + \tfrac{1}{5}x_3 = \tfrac{7}{5}.
Substituindo x_3 = 2:
x_1 + \tfrac{1}{5}\cdot 2 = \tfrac{7}{5} \quad\Rightarrow\quad x_1 + \tfrac{2}{5} = \tfrac{7}{5},
logo
x_1 = \tfrac{7}{5} - \tfrac{2}{5} = \tfrac{5}{5} = 1.

Passo 10

Verificação rápida (pra ficar mais confiante): substituir (x_1,x_2,x_3)=(1,1,2) nas equações originais:
\begin{aligned} 1 + 2\cdot 1 - 2 &= 1 &&\checkmark,\\[4pt] 2\cdot 1 - 1 + 2 &= 3 &&\checkmark,\\[4pt] -1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 2 &= -1 + 2 + 6 = 7 &&\checkmark. \end{aligned}
Tudo confere — solução correta.]

Resposta

x_1=1\
x_2=1\
x_3=2

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