onde m_{1}, m_{2}, b_{1} e b_{2} são constantes.
(a) Mostre que o sistema tem um única solução se m_{1} \neq m_{2}.
(b) Se m_{1}=m_{2}, mostre que o sistema só é compatível se b_{1}=b_{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema com incógnitas x_{1} e x_{2} e constantes m_{1},m_{2},b_{1},b_{2}:
O que o exercício pede:
(a) Mostrar que o sistema tem uma única solução quando m_{1}\neq m_{2}.
(b) Mostrar que, se m_{1}=m_{2}, então o sistema só é compatível (tem solução) se b_{1}=b_{2}.]
Passo 2
Estratégia simples e direta: eliminar uma incógnita subtraindo as equações. Observação importante (útil na prova): quando duas equações têm o mesmo coeficiente para uma incógnita, subtraí‑las elimina essa incógnita automaticamente — é um truque básico de eliminação.
Aplicando isso, subtraio a segunda equação da primeira:
Agora analiso o caso m_{1}\neq m_{2}. Como m_{2}-m_{1}\neq 0, posso dividir por esse número e obter
x_{1}=\frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Comentário didático: dividir por m_{2}-m_{1} é permitido porque essa diferença é não nula — é exatamente a condição m_{1}\neq m_{2}. Esse passo garante unicidade de x_{1}.
Passo 5
Com x_{1} em mãos, volto a uma das equações originais (por exemplo a primeira) para encontrar x_{2}. Da primeira equação vem
Se \det(A)\neq 0 (ou seja, m_{1}\neq m_{2}) então a matriz é invertível e o sistema tem solução única — isso confirma o que já obtivemos por eliminação. (Cramer daria as mesmas fórmulas que encontramos.)]
Passo 7
Agora trato o caso m_{1}=m_{2}. Chame esse valor comum de m. As duas equações ficam
-mx_{1}+x_{2}=b_{1},\qquad -mx_{1}+x_{2}=b_{2}.
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo; para o sistema ser compatível (haver solução) é necessário que os lados direitos também coincidam, isto é, é obrigatório que b_{1}=b_{2}. Se b_{1}\neq b_{2} então temos duas igualdades contraditórias para a mesma expressão e não existe solução (sistema incompatível).
Passo 8
Se m_{1}=m_{2}=m e b_{1}=b_{2}=b, então ambas as equações reduzem-se à mesma equação
-mx_{1}+x_{2}=b.
Nesse caso há infinitas soluções: escolhe‑se uma parâmetro livre para x_{1}, digamos x_{1}=t com t\in\mathbb{R}, e então
x_{2}=b+mt.
Ou seja, família de soluções \{(t,b+mt)\mid t\in\mathbb{R}\}.
(b) Se m_{1}=m_{2} o sistema é compatível somente se b_{1}=b_{2}. Nesse caso (quando m_{1}=m_{2}=m e b_{1}=b_{2}=b) há infinitas soluções x_{1}=t,\;x_{2}=b+mt com t\in\mathbb{R}.