Exercício 47 Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} -m_{1} x_{1}+x_{2}=b_{1} \\\\ -m_{2} x_{1}+x_{2}=b_{2} \end{array}\right.
onde m_{1}, m_{2}, b_{1} e b_{2} são constantes.
(a) Mostre que o sistema tem um única solução se m_{1} \neq m_{2}.
(b) Se m_{1}=m_{2}, mostre que o sistema só é compatível se b_{1}=b_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema com incógnitas x_{1} e x_{2} e constantes m_{1},m_{2},b_{1},b_{2}:
\left\{\begin{array}{l} -m_{1} x_{1}+x_{2}=b_{1},\\[4pt] -m_{2} x_{1}+x_{2}=b_{2}. \end{array}\right.
O que o exercício pede:
(a) Mostrar que o sistema tem uma única solução quando m_{1}\neq m_{2}.
(b) Mostrar que, se m_{1}=m_{2}, então o sistema só é compatível (tem solução) se b_{1}=b_{2}.]

Passo 2

Estratégia simples e direta: eliminar uma incógnita subtraindo as equações. Observação importante (útil na prova): quando duas equações têm o mesmo coeficiente para uma incógnita, subtraí‑las elimina essa incógnita automaticamente — é um truque básico de eliminação.
Aplicando isso, subtraio a segunda equação da primeira:
(-m_{1}x_{1}+x_{2})-(-m_{2}x_{1}+x_{2})=b_{1}-b_{2}.

Passo 3

Fazendo a subtração explicitamente, o termo x_{2} cancela:
(-m_{1}x_{1}+x_{2})-(-m_{2}x_{1}+x_{2}) = -m_{1}x_{1}+x_{2}+m_{2}x_{1}-x_{2}=(m_{2}-m_{1})x_{1}.
Portanto obtemos a equação
(m_{2}-m_{1})x_{1}=b_{1}-b_{2}.

Passo 4

Agora analiso o caso m_{1}\neq m_{2}. Como m_{2}-m_{1}\neq 0, posso dividir por esse número e obter
x_{1}=\frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Comentário didático: dividir por m_{2}-m_{1} é permitido porque essa diferença é não nula — é exatamente a condição m_{1}\neq m_{2}. Esse passo garante unicidade de x_{1}.

Passo 5

Com x_{1} em mãos, volto a uma das equações originais (por exemplo a primeira) para encontrar x_{2}. Da primeira equação vem
x_{2}=b_{1}+m_{1}x_{1}.
Substituo a expressão de x_{1}:
x_{2}=b_{1}+m_{1}\cdot\frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Faço a soma em um único quociente (colocando sobre o mesmo denominador m_{2}-m_{1}):
x_{2}=\frac{b_{1}(m_{2}-m_{1})+m_{1}(b_{1}-b_{2})}{m_{2}-m_{1}}.
Simplificando o numerador:
b_{1}(m_{2}-m_{1})+m_{1}(b_{1}-b_{2})=b_{1}m_{2}-b_{1}m_{1}+m_{1}b_{1}-m_{1}b_{2}=b_{1}m_{2}-m_{1}b_{2}.
Portanto
x_{2}=\frac{b_{1}m_{2}-m_{1}b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Concluindo: quando m_{1}\neq m_{2} obtém‑se uma única solução explicitamente dada por x_{1} e x_{2} acima.

Passo 6

Uma interpretação alternativa (útil para reforçar o entendimento): a matriz dos coeficientes do sistema é
A=\begin{pmatrix}-m_{1} & 1\\[4pt]-m_{2} & 1\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(A)=(-m_{1})\cdot 1 - 1\cdot(-m_{2})=m_{2}-m_{1}.
Se \det(A)\neq 0 (ou seja, m_{1}\neq m_{2}) então a matriz é invertível e o sistema tem solução única — isso confirma o que já obtivemos por eliminação. (Cramer daria as mesmas fórmulas que encontramos.)]

Passo 7

Agora trato o caso m_{1}=m_{2}. Chame esse valor comum de m. As duas equações ficam
-mx_{1}+x_{2}=b_{1},\qquad -mx_{1}+x_{2}=b_{2}.
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo; para o sistema ser compatível (haver solução) é necessário que os lados direitos também coincidam, isto é, é obrigatório que b_{1}=b_{2}. Se b_{1}\neq b_{2} então temos duas igualdades contraditórias para a mesma expressão e não existe solução (sistema incompatível).

Passo 8

Se m_{1}=m_{2}=m e b_{1}=b_{2}=b, então ambas as equações reduzem-se à mesma equação
-mx_{1}+x_{2}=b.
Nesse caso há infinitas soluções: escolhe‑se uma parâmetro livre para x_{1}, digamos x_{1}=t com t\in\mathbb{R}, e então
x_{2}=b+mt.
Ou seja, família de soluções \{(t,b+mt)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

(a) Se m_{1}\neq m_{2} há solução única dada por
x_{1}=\frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}},\qquad x_{2}=\frac{b_{1}m_{2}-m_{1}b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
(b) Se m_{1}=m_{2} o sistema é compatível somente se b_{1}=b_{2}. Nesse caso (quando m_{1}=m_{2}=m e b_{1}=b_{2}=b) há infinitas soluções x_{1}=t,\;x_{2}=b+mt com t\in\mathbb{R}.

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