Exercício 49 : ** Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} \log x+\log y=2 \\ x \cdot y=100 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações em x e y positivas:
\begin{cases} \log x + \log y = 2,\\\ x \cdot y = 100. \end{cases}
O conteúdo envolvido é propriedade de logaritmos e resolução de sistemas que envolvem produtos de variáveis.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmos para somas:
\log x + \log y = \log(xy).
Assim, a primeira equação fica
\log(xy)=2
e, pela definição de logaritmo na base 10, obtemos
xy = 10^2 = 100.

Passo 3

Perceba que a segunda equação do sistema já é
x\cdot y = 100.
Logo, ambas as equações se reduzem à mesma condição xy=100, sem outra restrição além de x>0 e y>0.

Resposta

A solução geral no conjunto dos reais positivos é
(x,y)=\bigl(t,\tfrac{100}{t}\bigr)\quad\text{com }t>0.

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