Exercício 49. Usando as fórmulas de adição, deduza a igualdade
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} .

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula da tangente da soma:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.
Informações dadas (o que podemos usar): as fórmulas de adição para seno e cosseno (as chamadas fórmulas de soma de ângulos). Não há mais informações numéricas — queremos uma dedução algébrica geral.

Passo 2

Recordando as fórmulas de adição (essas são as ferramentas que o enunciado autoriza usar):
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Vou explicar o que cada símbolo significa: \sin e \cos são as funções seno e cosseno; \alpha e \beta são ângulos quaisquer. Essas fórmulas dizem como expressar seno e cosseno da soma em termos de senos e cossenos dos ângulos separados.

Passo 3

Definição de tangente que vou usar: para um ângulo \theta com \cos\theta\neq0,
\operatorname{tg}\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Ou seja, tangente é razão entre seno e cosseno. Nota importante sobre domínio: \operatorname{tg}\theta só está definida quando \cos\theta\neq0.

Passo 4

Começo escrevendo \operatorname{tg}(\alpha+\beta) pela definição:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}.
Agora substituo as fórmulas de adição do Passo 2:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)= \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}.

Passo 5

Para transformar essa expressão em termos de \operatorname{tg}\alpha e \operatorname{tg}\beta, vou dividir numerador e denominador por \cos\alpha\cos\beta (assumindo provisoriamente \cos\alpha\cos\beta\neq0; depois comento sobre isso). Fica:
\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} {\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}.
Simplificando cada fração:
= \frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}.

Passo 6

Agora uso a definição de tangente ( \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha e \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\operatorname{tg}\beta). Substituindo,
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)= \frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.
Isso é exatamente a igualdade pedida.

Passo 7

Observações sobre domínio (coisa chata, mas importante na prova): a dedução usou divisão por \cos\alpha\cos\beta, então a identidade vale sempre que as quantidades envolvidas estiverem definidas. Em termos práticos:
  • é preciso que \cos\alpha\cos\beta\neq0 para as manipulações; e
  • o membro da direita também exige 1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\neq0 (caso contrário haveria divisão por zero).
    Quando \cos(\alpha+\beta)=0 a tangente \operatorname{tg}(\alpha+\beta) é indefinida e o lado direito também ficará indefinido exatamente nos mesmos casos, então a igualdade é entendida onde ambos os lados estão definidos.

Passo 8

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, mas ajuda a entender): tome \alpha=30^\circ e \beta=15^\circ. Sabendo \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e \operatorname{tg}15^\circ=2-\sqrt{3}, a fórmula dá
\operatorname{tg}45^\circ=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}+(2-\sqrt{3})}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})}=1,
que confirma que \operatorname{tg}45^\circ=1.

Resposta

\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.

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