Exercício 49. Usando as fórmulas de adição, deduza a igualdade
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula da tangente da soma:
Informações dadas (o que podemos usar): as fórmulas de adição para seno e cosseno (as chamadas fórmulas de soma de ângulos). Não há mais informações numéricas — queremos uma dedução algébrica geral.
Passo 2
Recordando as fórmulas de adição (essas são as ferramentas que o enunciado autoriza usar):
Vou explicar o que cada símbolo significa:
e
são as funções seno e cosseno;
e
são ângulos quaisquer. Essas fórmulas dizem como expressar seno e cosseno da soma em termos de senos e cossenos dos ângulos separados.
Passo 3
Definição de tangente que vou usar: para um ângulo
com
,
Ou seja, tangente é razão entre seno e cosseno. Nota importante sobre domínio:
só está definida quando
.
Passo 4
Começo escrevendo
pela definição:
Agora substituo as fórmulas de adição do Passo 2:
Passo 5
Para transformar essa expressão em termos de
e
, vou dividir numerador e denominador por
(assumindo provisoriamente
; depois comento sobre isso). Fica:
Simplificando cada fração:
Passo 6
Agora uso a definição de tangente (
e
). Substituindo,
Isso é exatamente a igualdade pedida.
Passo 7
Observações sobre domínio (coisa chata, mas importante na prova): a dedução usou divisão por
, então a identidade vale sempre que as quantidades envolvidas estiverem definidas. Em termos práticos:
- é preciso que
para as manipulações; e - o membro da direita também exige
(caso contrário haveria divisão por zero).
Quandoa tangente é indefinida e o lado direito também ficará indefinido exatamente nos mesmos casos, então a igualdade é entendida onde ambos os lados estão definidos.
Passo 8
Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, mas ajuda a entender): tome
e
. Sabendo
e
, a fórmula dá
que confirma que
.