Nos itens abaixo, resolva o PVI e determine (de forma aproximada) o intervalo
onde a solução está definida.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede:
- Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial
. - Determinar, de forma aproximada, o intervalo
em que essa solução está definida.
Informações fornecidas:
- A forma diferencial é
com e . - Condição inicial:
, .
Passo 2
Verificar se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Logo existe uma função potencial
tal que
Passo 3
Construir a função potencial
integrando
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 4
Determinar
usando
. Calculo
Assim
Posso incorporar a constante
na constante geral da solução. Portanto a função potencial é
Passo 5
A solução implícita geral da equação exata é
ou seja
Aplicando a condição inicial
:
portanto
. A solução implícita que satisfaz o PVI é
Passo 6
Se for necessário, isolamos
explicitamente. Reescrevendo como uma equação quadrática em
:
Multiplicando por
(para usar a forma padrão):
Aplicando a fórmula quadrática com
,
,
:
Logo as raízes são
Para satisfazer
substituo
:
e obtenho
, as opções
e
. A condição inicial escolhe o sinal negativo. Assim a solução explícita apropriada é
Passo 7
Determinar o intervalo de definição
. Para que
seja real precisamos de
, i.e.
Analisando
:
-
. -
.
Logo existe uma raiz realcom tal que para próximo a zero e para (comportamento verificado numericamente). Essa raiz é o ponto em que o discriminante zera e as duas raízes da quadrática em coalescem (raiz dupla).
Passo 8
Calcular numericamente a raiz
de
. Usando método numérico (bissecção seguido de Newton) obtém-se
(alguns passos numéricos rápidos:
,
; refinamento por Newton dá
.)
Passo 9
Interpretação pelo teorema da função implícita / existência e unicidade:
- No ponto inicial
tem-se , portanto existe e é única uma solução diferenciável num intervalo aberto contendo . - O domínio máximo em
para a solução como função explícita termina no menor (à esquerda) em que se anula, porque para a expressão dentro da raiz fica negativa (não há solução real) e em há raiz dupla com (tangência vertical). Para a raiz dentro da raiz quadrada é positiva e a solução com o sinal escolhido é bem definida e suave. - Portanto o intervalo maximal (aberto) em que a solução do PVI existe como função real
que passa por é
Observação: em
existe um ponto da curva implícita (raiz dupla), mas a derivada
explode ali porque
, logo não se estende como função
por esse ponto.