Nos itens abaixo, resolva o PVI e determine (de forma aproximada) o intervalo I onde a solução está definida.
\left(9 x^{2}+y-1\right) d x-(4 y-x) d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
\left(9x^{2}+y-1\right)\,dx-(4y-x)\,dy=0,\qquad y(1)=0.
O que se pede:
  • Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial y(1)=0.
  • Determinar, de forma aproximada, o intervalo I em que essa solução está definida.
Informações fornecidas:
  • A forma diferencial é M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=9x^{2}+y-1 e N(x,y)=-(4y-x)=x-4y.
  • Condição inicial: x_{0}=1, y_{0}=0.

Passo 2

Verificar se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(9x^{2}+y-1\bigr)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x-4y\bigr)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Logo existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).

Passo 3

Construir a função potencial F integrando M em relação a x (tratando y como constante):
F(x,y)=\int\bigl(9x^{2}+y-1\bigr)\,dx = 3x^{3}+xy-x + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 4

Determinar h(y) usando \dfrac{\partial F}{\partial y}=N(x,y). Calculo
\frac{\partial F}{\partial y}=x + h'(y) \stackrel{!}{=} x-4y.
Assim
h'(y)=-4y \quad\Rightarrow\quad h(y)=\int -4y\,dy = -2y^{2}+C_0.
Posso incorporar a constante C_0 na constante geral da solução. Portanto a função potencial é
F(x,y)=3x^{3}+xy-x-2y^{2}.

Passo 5

A solução implícita geral da equação exata é
F(x,y)=C,
ou seja
3x^{3}+xy-x-2y^{2}=C.
Aplicando a condição inicial (x,y)=(1,0):
3\cdot1^{3}+1\cdot0-1-2\cdot0^{2}=3-1=2,
portanto C=2. A solução implícita que satisfaz o PVI é
3x^{3}+xy-x-2y^{2}=2.

Passo 6

Se for necessário, isolamos y explicitamente. Reescrevendo como uma equação quadrática em y:
-2y^{2}+xy+3x^{3}-x-2=0.
Multiplicando por -1 (para usar a forma padrão):
2y^{2}-xy-3x^{3}+x+2=0.
Aplicando a fórmula quadrática com a=2, b=-x, c=-3x^{3}+x+2:
\Delta(x)=b^{2}-4ac = x^{2}-8\bigl(-3x^{3}+x+2\bigr) =24x^{3}+x^{2}-8x-16.
Logo as raízes são
y(x)=\frac{x\pm\sqrt{\Delta(x)}}{4}.
Para satisfazer y(1)=0 substituo x=1: \Delta(1)=1 e obtenho y(1)=\dfrac{1\pm1}{4}, as opções 0 e 1/2. A condição inicial escolhe o sinal negativo. Assim a solução explícita apropriada é
y(x)=\frac{x-\sqrt{\,24x^{3}+x^{2}-8x-16\,}}{4}.

Passo 7

Determinar o intervalo de definição I. Para que y(x) seja real precisamos de \Delta(x)\ge0, i.e.
\Phi(x):=24x^{3}+x^{2}-8x-16\ge0.
Analisando \Phi:
  • \Phi(1)=1>0.
  • \Phi(0)=-16<0.
    Logo existe uma raiz real r com 0<r<1 tal que \Phi(x)<0 para x<r próximo a zero e \Phi(x)\ge0 para x\ge r (comportamento verificado numericamente). Essa raiz é o ponto em que o discriminante zera e as duas raízes da quadrática em y coalescem (raiz dupla).

Passo 8

Calcular numericamente a raiz r de \Phi(x)=0. Usando método numérico (bissecção seguido de Newton) obtém-se
r\approx 0,98490.
(alguns passos numéricos rápidos: \Phi(0,98)\approx -0,291, \Phi(0,99)\approx 0,347; refinamento por Newton dá r\approx0,984899\ldots.)

Passo 9

Interpretação pelo teorema da função implícita / existência e unicidade:
  • No ponto inicial (1,0) tem-se \dfrac{\partial F}{\partial y}(1,0)=1\neq0, portanto existe e é única uma solução y(x) diferenciável num intervalo aberto contendo x=1.
  • O domínio máximo em x para a solução como função explícita y(x) termina no menor x (à esquerda) em que \Delta(x) se anula, porque para x<r a expressão dentro da raiz fica negativa (não há solução real) e em x=r há raiz dupla com \dfrac{\partial F}{\partial y}=x-4y=0 (tangência vertical). Para x>r a raiz dentro da raiz quadrada é positiva e a solução com o sinal escolhido é bem definida e suave.
  • Portanto o intervalo maximal (aberto) em que a solução do PVI existe como função real y(x) que passa por x=1 é
I=(r,\infty)\quad\text{com }r\approx 0{,}98490.
Observação: em x=r existe um ponto da curva implícita (raiz dupla), mas a derivada y'(x)=-\dfrac{F_x}{F_y} explode ali porque F_y=x-4y=0, logo não se estende como função C^{1} por esse ponto.

Resposta

3x^{3}+xy-x-2y^{2}=2 (solução implícita)
y(x)=\dfrac{x-\sqrt{24x^{3}+x^{2}-8x-16}}{4} (ramo que satisfaz y(1)=0)
I=(0,98490,\infty) (intervalo de definição aproximado)

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