Verifique se a equação dada é exata e, em caso afirmativo, encontre a solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido:
- Verificar se a equação é exata.
- Se for exata, encontrar a solução (a solução geral implícita).
Informações dadas que usarei:
- Identificar as funções
e no formato . - Cálculo das derivadas parciais
e . - Construção de uma função potencial
tal que e .
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma diferencial diferencial clássica: considere
então a equação é
Conceito importante (explicação didática): para que exista uma função
tal que
, é necessário (e — em domínios simples — suficiente) que as derivadas parciais cruzadas coincidam:
Aqui
significa derivar
tratando
como constante; similarmente para
.
Vou calcular essas derivadas parciais de forma transparente.
Passo 3
Calcule
e
.
- Para
:
pois
e
são constantes em relação a
, e
.
- Para
:
pois
e
são constantes em relação a
, e
.
Como
as derivadas parciais cruzadas coincidem. Portanto a equação é exata.
Comentário encorajador: ótimo — isso significa que existe uma função potencial
cuja diferencial total é
, e a solução geral será
.
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
e
.
Passo (a): integro
em relação a
, tratando
como constante. Faça cada termo com calma:
Calcule termo a termo:
-
, -
, -
.
Somando e lembrando de adicionar uma função arbitrária de
,
, obtemos
Passo 5
Passo (b): determine
usando a condição
.
Calcule
a partir da expressão encontrada:
pois
e
não dependem de
, e
.
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados fica
Agora integro
em relação a
:
O termo constante
é irrelevante na função potencial final (será absorvido na constante da solução geral), então podemos omiti‑lo ao escrever a solução implícita.
Passo 6
Juntando tudo, a função potencial é
A solução geral implícita da equação exata é dada por
isto é,
onde
é constante arbitrária.
Se quiser, pode checar rapidamente derivando
em
e em
para ver que recupera
e
— isso confirma que tudo está correto.