Verifique se a equação dada é exata e, em caso afirmativo, encontre a solução.
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right)+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right)+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) y' = 0.
O que é pedido:
  • Verificar se a equação é exata.
  • Se for exata, encontrar a solução (a solução geral implícita).
Informações dadas que usarei:
  • Identificar as funções \,M(x,y)\, e \,N(x,y)\, no formato \,M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
  • Cálculo das derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
  • Construção de uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma diferencial diferencial clássica: considere
M(x,y)=3x^{2}-2xy+2,\qquad N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3,
então a equação é
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Conceito importante (explicação didática): para que exista uma função \Phi(x,y) tal que \,d\Phi=\Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy=M\,dx+N\,dy, é necessário (e — em domínios simples — suficiente) que as derivadas parciais cruzadas coincidam:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \partial M/\partial y significa derivar M tratando x como constante; similarmente para \partial N/\partial x.
Vou calcular essas derivadas parciais de forma transparente.

Passo 3

Calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
  • Para M(x,y)=3x^{2}-2xy+2:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}-2xy+2\big) = -2x,
pois 3x^{2} e 2 são constantes em relação a y, e \partial(-2xy)/\partial y=-2x.
  • Para N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(6y^{2}-x^{2}+3\big) = -2x,
pois 6y^{2} e 3 são constantes em relação a x, e \partial(-x^{2})/\partial x=-2x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=-2x=\frac{\partial N}{\partial x},
as derivadas parciais cruzadas coincidem. Portanto a equação é exata.
Comentário encorajador: ótimo — isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial total é M\,dx+N\,dy, e a solução geral será \Phi(x,y)=C.

Passo 4

Agora vamos encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.
Passo (a): integro \Phi_x=M(x,y) em relação a x, tratando y como constante. Faça cada termo com calma:
\Phi_x=3x^{2}-2xy+2 \quad\Longrightarrow\quad \Phi(x,y)=\int\big(3x^{2}-2xy+2\big)\,dx.
Calcule termo a termo:
  • \int 3x^{2}\,dx = x^{3},
  • \int -2xy\,dx = -2y\int x\,dx = -2y\cdot \frac{x^{2}}{2} = -x^{2}y,
  • \int 2\,dx = 2x.
Somando e lembrando de adicionar uma função arbitrária de y, h(y), obtemos
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+h(y).

Passo 5

Passo (b): determine h(y) usando a condição \Phi_y=N(x,y).
Calcule \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}-x^{2}y+2x+h(y)\big) = -x^{2}+h'(y),
pois x^{3} e 2x não dependem de y, e \partial(-x^{2}y)/\partial y=-x^{2}.
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3. Igualando:
-x^{2}+h'(y)=6y^{2}-x^{2}+3.
Cancelando -x^{2} dos dois lados fica
h'(y)=6y^{2}+3.
Agora integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int(6y^{2}+3)\,dy = 6\cdot\frac{y^{3}}{3}+3y = 2y^{3}+3y + C_0.
O termo constante C_0 é irrelevante na função potencial final (será absorvido na constante da solução geral), então podemos omiti‑lo ao escrever a solução implícita.

Passo 6

Juntando tudo, a função potencial é
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y.
A solução geral implícita da equação exata é dada por
\Phi(x,y)=C,
isto é,
x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C,
onde C é constante arbitrária.
Se quiser, pode checar rapidamente derivando \Phi em x e em y para ver que recupera M e N — isso confirma que tudo está correto.

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C

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