Exercício 50. Sabendo que \int \frac{1}{1^{2}+x^{2}} d x=\operatorname{arctg}(x), determine as seguintes primitivas:
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x, \quad a>0

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx,\quad a>0,
sabendo que
\int \frac{1}{1^{2}+x^{2}}\,dx=\operatorname{arctg}(x).
O conteúdo é mudança de variável para reduzir o integrando à forma padrão \frac{1}{1+u^{2}}.

Passo 2

Fatoramos a^{2} no denominador:
\frac{1}{a^{2}+x^{2}} =\frac{1}{a^{2}}\;\frac{1}{1+\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \frac{x}{a}, \qquad x = a\,u, \qquad dx = a\,du.
Então
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{a^{2}}\;\frac{1}{1+u^{2}}\;(a\,du) = \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Usando a primitiva conhecida \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\operatorname{arctg}(u), obtemos
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}(u) + C = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C.

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