Exercício 50. Sabendo que \int \frac{1}{1^{2}+x^{2}} d x=\operatorname{arctg}(x), determine as seguintes primitivas:
\int \frac{3 x+2}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int \frac{3x+2}{x^{2}+1}\,dx
O conteúdo aqui é integração de uma fração que pode ser decomposta em soma de termos mais simples. Vamos usar:
  1. A decomposição linear da integral.
  2. A substituição para o termo com x/(x^{2}+1).
  3. A fórmula dada
\int \frac{1}{1^{2}+x^{2}}\,dx = \operatorname{arctg}(x).

Passo 2

Decompondo a integral em dois termos:
\int \frac{3x+2}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx, faça u = x^{2}+1, logo du = 2x\,dx. Então
3x\,dx = \frac{3}{2}\,du
e a integral vira
\int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{\frac{3}{2}\,du}{u} = \frac{3}{2}\,\ln\!\bigl|u\bigr| = \frac{3}{2}\,\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx, fatoramos a constante 2 e usamos a fórmula do enunciado:
\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = 2 \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = 2\,\operatorname{arctg}(x).

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C:
\int \frac{3x+2}{x^{2}+1}\,dx = \frac{3}{2}\,\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) + 2\,\operatorname{arctg}(x) + C.

Resposta

\boxed{\frac{3}{2}\,\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) + 2\,\operatorname{arctg}(x) + C}

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