Exercício 51. Calcule
, onde
e
o semielipsoide superior
, com vetor normal
apontando para o exterior,
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
, onde
e
é o semielipsoide superior dado por
. O vetor normal
aponta para o exterior do sólido. Informações relevantes fornecidas:
- A superfície
é o semielipsoide “curvo” superior (apenas a parte do elipsoide). - A equação do elipsoide completa é
. - O campo vetorial é
. - Preciso usar a orientação externa para
.
A partir daqui eu vou começar a resolver passo a passo.
Passo 2
Ideia do método (sem entrar em nomes formais ainda): é conveniente fechar a superfície adicionando o disco
no plano
que forma a “base” do semielipsoide. Assim o sólido
é o interior do semielipsoide (região com
). A superfície fechada
é a união de
(a parte curva) mais o disco
(na base). Vou usar a relação que conecta o fluxo através da superfície fechada com uma integral sobre o volume; isso permitirá trocar o cálculo pela soma do fluxo em
e no disco
.
Passo 3
Calculo da divergência do campo, que é a quantidade que aparece dentro da integral de volume. A divergência de
é
Como
não depende de
,
não depende de
e
não depende de
, cada derivada parcial é zero. Portanto
Passo 4
Pelo teorema que relaciona fluxo sobre superfície fechada com integral do volume (usarei essa relação concreta: fluxo sobre
=
), temos
Como
, a integral de volume é zero, logo o fluxo total pela superfície fechada é zero:
Mas
(com orientações externas). Assim
ou seja
Essa fórmula nos diz que basta calcular o fluxo através do disco
e mudar o sinal apropriado.
Passo 5
Descrevendo o disco
: é a seção do elipsoide em
. Substituindo
na equação do elipsoide obtemos
Portanto
é a elipse centrada na origem com semi-eixos
(no eixo
) e
(no eixo
).
Passo 6
Determinar a orientação do normal em
(para a superfície fechada a orientação externa aponta para fora do sólido): o sólido está acima do disco, portanto a normal exterior em
aponta para baixo, isto é, é
. Logo no disco
temos
. Assim o fluxo através de
é
O produto escalar
é a terceira componente de
, que é
. Portanto
Passo 7
Voltando à relação do passo 4, obtemos
Ou seja precisamos calcular a integral sobre a elipse
Para calcular
é prático fazer a transformação linear que leva a elipse para o disco unitário: defina coordenadas
por
onde
varia no disco unitário
. O jacobiano da transformação é
. Assim
e
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Portanto
Passo 9
Calcular
. Podemos usar simetria ou coordenadas polares
. Em coordenadas polares:
Então
Calcule as integrais separadamente:
e usando a identidade
(porque
tem média
em um período),
Multiplicando,
Passo 10
Substituindo este valor em
vezes a integral:
Esse é o fluxo do campo
através do semielipsoide superior
com normal exterior.