Exercício 51. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=\left(3 z^{2}, 4 x^{2}, 5 y^{2}\right) e S o semielipsoide superior 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6, z \geq 0, com vetor normal n apontando para o exterior,

Passo 1

O enunciado pede o fluxo \iint_{S}(F\cdot n)\,d s, onde F(x,y,z)=\left(3z^{2},\,4x^{2},\,5y^{2}\right) e S é o semielipsoide superior dado por 2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6,\;z\ge 0. O vetor normal n aponta para o exterior do sólido. Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície S é o semielipsoide “curvo” superior (apenas a parte z\ge0 do elipsoide).
  • A equação do elipsoide completa é 2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6.
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=\left(3z^{2},\,4x^{2},\,5y^{2}\right).
  • Preciso usar a orientação externa para n.
    A partir daqui eu vou começar a resolver passo a passo.

Passo 2

Ideia do método (sem entrar em nomes formais ainda): é conveniente fechar a superfície adicionando o disco D no plano z=0 que forma a “base” do semielipsoide. Assim o sólido V é o interior do semielipsoide (região com z\ge0). A superfície fechada \partial V é a união de S (a parte curva) mais o disco D (na base). Vou usar a relação que conecta o fluxo através da superfície fechada com uma integral sobre o volume; isso permitirá trocar o cálculo pela soma do fluxo em S e no disco D.

Passo 3

Calculo da divergência do campo, que é a quantidade que aparece dentro da integral de volume. A divergência de F é
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}(3z^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(5y^{2}).
Como 3z^{2} não depende de x, 4x^{2} não depende de y e 5y^{2} não depende de z, cada derivada parcial é zero. Portanto
\operatorname{div}F=0.

Passo 4

Pelo teorema que relaciona fluxo sobre superfície fechada com integral do volume (usarei essa relação concreta: fluxo sobre \partial V = \iiint_{V}\operatorname{div}F\,dV), temos
\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}F\,dV.
Como \operatorname{div}F=0, a integral de volume é zero, logo o fluxo total pela superfície fechada é zero:
\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS=0.
Mas \partial V=S\cup D (com orientações externas). Assim
\iint_{S}F\cdot n\,dS+\iint_{D}F\cdot n\,dS=0,
ou seja
\iint_{S}F\cdot n\,dS=-\iint_{D}F\cdot n\,dS.
Essa fórmula nos diz que basta calcular o fluxo através do disco D e mudar o sinal apropriado.

Passo 5

Descrevendo o disco D: é a seção do elipsoide em z=0. Substituindo z=0 na equação do elipsoide obtemos
2x^{2}+3y^{2}=6 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1.
Portanto D é a elipse centrada na origem com semi-eixos a=\sqrt{3} (no eixo x) e b=\sqrt{2} (no eixo y).

Passo 6

Determinar a orientação do normal em D (para a superfície fechada a orientação externa aponta para fora do sólido): o sólido está acima do disco, portanto a normal exterior em D aponta para baixo, isto é, é -\mathbf{k}. Logo no disco D temos n=-\mathbf{k}. Assim o fluxo através de D é
\iint_{D}F\cdot n\,dS=\iint_{D}F\cdot(-\mathbf{k})\,dS=-\iint_{D}F\cdot\mathbf{k}\,dS.
O produto escalar F\cdot\mathbf{k} é a terceira componente de F, que é 5y^{2}. Portanto
\iint_{D}F\cdot n\,dS=-\iint_{D}5y^{2}\,dS.

Passo 7

Voltando à relação do passo 4, obtemos
\iint_{S}F\cdot n\,dS=-\iint_{D}F\cdot n\,dS=-\big(-\iint_{D}5y^{2}\,dS\big)=\iint_{D}5y^{2}\,dS.
Ou seja precisamos calcular a integral sobre a elipse
\iint_{D}5y^{2}\,dS=5\iint_{D}y^{2}\,dS.
Para calcular \iint_{D}y^{2}\,dS é prático fazer a transformação linear que leva a elipse para o disco unitário: defina coordenadas (u,v) por
x=a u=\sqrt{3}\,u,\qquad y=b v=\sqrt{2}\,v,
onde (u,v) varia no disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1. O jacobiano da transformação é |J|=ab=\sqrt{3}\sqrt{2}=\sqrt{6}. Assim dS=|J|\,du\,dv=\sqrt{6}\,du\,dv e y^{2}=b^{2}v^{2}=(\sqrt{2})^{2}v^{2}=2v^{2}.

Passo 8

Substituindo na integral:
\iint_{D}y^{2}\,dS=\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} (2v^{2})\cdot(\sqrt{6})\,du\,dv=2\sqrt{6}\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv.
Portanto
\iint_{D}5y^{2}\,dS=5\cdot 2\sqrt{6}\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv=10\sqrt{6}\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv.

Passo 9

Calcular \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv. Podemos usar simetria ou coordenadas polares (u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta). Em coordenadas polares:
v^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta,\qquad du\,dv=r\,dr\,d\theta.
Então
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin^{2}\theta\; r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
Calcule as integrais separadamente:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4},
e usando a identidade \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi (porque \sin^{2}\theta tem média 1/2 em um período),
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi.
Multiplicando,
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv=\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}.

Passo 10

Substituindo este valor em 10\sqrt{6} vezes a integral:
\iint_{S}F\cdot n\,dS=10\sqrt{6}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{10\pi\sqrt{6}}{4}=\frac{5\pi\sqrt{6}}{2}.
Esse é o fluxo do campo F através do semielipsoide superior S com normal exterior.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi\sqrt{6}}{2}

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