Exercício 49. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=\left(0, x^{2}, 0\right) e S o semielipsoide 2 x^{2}+ 3 y^{2}+z^{2}=6, z \geq 0, com vetor normal n apontando para o exterior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS
onde F(x,y,z) = (0,x^{2},0) e S é o semielipsoide dado por
2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6,\qquad z\ge 0,
com o vetor normal n apontando para o exterior do sólido.
Dados importantes fornecidos:
F(x,y,z)=(0,x^{2},0),
S=\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6,\\ z\ge0\},
o normal em S é externo ao sólido interno (o interior é a região com 2x^{2}+3y^{2}+z^{2}\le6,\\ z\ge0). A tarefa é calcular o fluxo de F através dessa superfície S.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) aplicando-o a uma superfície fechada obtida ao juntar S com a base plana no plano z=0. Vou explicar o porquê e o teorema em si.
O Teorema da Divergência diz que, para uma região sólida E com fronteira fechada \partial E e normal unitário externo,
\iint_{\partial E} F\cdot n\,dS = \iiint_{E} \nabla\cdot F\,dV.
Isso transforma um cálculo de fluxo por superfície em uma integral tripla do divergente de F sobre o volume — frequentemente mais simples. Aqui a superfície S não é fechada (faltaria a base no plano z=0), então fechamos o sólido adicionando a região plana D (a “tampa”) no plano z=0 para formar \partial E = S\cup D. Depois usaremos que o divergente pode ser simples de calcular e que o fluxo pela base pode ser fácil de avaliar.

Passo 3

Definição da região e das superfícies auxiliares. Seja E o sólido
E=\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+z^{2}\le6,\\ z\ge0\}.
A fronteira fechada \partial E é composta por duas partes:
\partial E = S \cup D,
onde S é o semielipsoide dado no enunciado e D é a região elíptica plana (a base) no plano z=0 definida por
D=\{(x,y,0)\mid 2x^{2}+3y^{2}\le6\}.
Importante: a normal unitária externa em \partial E aponta para fora de E. Para S isso é o normal apontando para fora do elipsoide; para D (a base plana) o normal externo aponta para baixo, isto é, -\mathbf{k}=(0,0,-1), porque o interior E está acima da base.

Passo 4

Cálculo do divergente de F. Primeiro explicando o que é divergente: para um campo vetorial F=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
No nosso caso F_1=0, F_2=x^{2}, F_3=0. Então
\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(0) + \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial z}(0).
Como x^{2} não depende de y, sua derivada em relação a y é zero. Logo
\nabla\cdot F = 0 + 0 + 0 = 0.
Assim o divergente é zero em toda a região.

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência à superfície fechada \partial E = S\cup D:
\iint_{S} F\cdot n\,dS + \iint_{D} F\cdot n\,dS = \iint_{\partial E} F\cdot n\,dS = \iiint_{E} \nabla\cdot F\,dV.
Como \nabla\cdot F=0, a integral tripla é zero, portanto
\iint_{S} F\cdot n\,dS + \iint_{D} F\cdot n\,dS = 0.
Isto implica
\iint_{S} F\cdot n\,dS = -\iint_{D} F\cdot n\,dS.

Passo 6

Cálculo do fluxo através da base D. A base D está no plano z=0 e a normal unitária externa (para baixo) é -\mathbf{k}=(0,0,-1). Então em qualquer ponto da base
F\cdot n = F\cdot(-\mathbf{k}) = (0,x^{2},0)\cdot(0,0,-1) = 0.
Como o produto escalar é zero ponto a ponto, a integral sobre D é zero:
\iint_{D} F\cdot n\,dS = 0.

Passo 7

Conclusão final: combinando os passos anteriores,
\iint_{S} F\cdot n\,dS = -\iint_{D} F\cdot n\,dS = -0 = 0.
Portanto o fluxo através do semielipsoide S com normal externa é zero.

Resposta

0

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