Exercício 49. Calcule
, onde
e
o semielipsoide
, com vetor normal
apontando para o exterior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
onde
e
é o semielipsoide dado por
com o vetor normal
apontando para o exterior do sólido.
Dados importantes fornecidos:
Dados importantes fornecidos:
o normal em
é externo ao sólido interno (o interior é a região com
). A tarefa é calcular o fluxo de
através dessa superfície
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) aplicando-o a uma superfície fechada obtida ao juntar
com a base plana no plano
. Vou explicar o porquê e o teorema em si.
O Teorema da Divergência diz que, para uma região sólida
com fronteira fechada
e normal unitário externo,
Isso transforma um cálculo de fluxo por superfície em uma integral tripla do divergente de
sobre o volume — frequentemente mais simples. Aqui a superfície
não é fechada (faltaria a base no plano
), então fechamos o sólido adicionando a região plana
(a “tampa”) no plano
para formar
. Depois usaremos que o divergente pode ser simples de calcular e que o fluxo pela base pode ser fácil de avaliar.
Passo 3
Definição da região e das superfícies auxiliares. Seja
o sólido
A fronteira fechada
é composta por duas partes:
onde
é o semielipsoide dado no enunciado e
é a região elíptica plana (a base) no plano
definida por
Importante: a normal unitária externa em
aponta para fora de
. Para
isso é o normal apontando para fora do elipsoide; para
(a base plana) o normal externo aponta para baixo, isto é,
, porque o interior
está acima da base.
Passo 4
Cálculo do divergente de
. Primeiro explicando o que é divergente: para um campo vetorial
,
No nosso caso
,
,
. Então
Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero. Logo
Assim o divergente é zero em toda a região.
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência à superfície fechada
:
Como
, a integral tripla é zero, portanto
Isto implica
Passo 6
Cálculo do fluxo através da base
. A base
está no plano
e a normal unitária externa (para baixo) é
. Então em qualquer ponto da base
Como o produto escalar é zero ponto a ponto, a integral sobre
é zero:
Passo 7
Conclusão final: combinando os passos anteriores,
Portanto o fluxo através do semielipsoide
com normal externa é zero.
Resposta
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