Exercício 50. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=\left(0,0, y^{2}\right) e S o semielipsoide 2 x^{2}+3 y^{2}+ z^{2}=6, z \geq 0, com vetor normal n apontando para o exterior.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de fluxo
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s
onde a campo vetorial é
F(x,y,z)=\bigl(0,0,y^{2}\bigr)
e a superfície S é o semielipsoide definido por
2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6,\qquad z\ge 0,
com o vetor normal n apontando para o exterior do sólido. Informações relevantes dadas:
A superfície S é a parte superior (semiesfera superior no caso de elipsoide) da elipsoide, isto é, a fronteira superior do sólido limitado por z\ge0.
A curva de contorno em z=0 é a elipse obtida impondo z=0 na equação: 2x^{2}+3y^{2}=6.
O campo F tem apenas componente em z, igual a y^{2}.
Passo 2
Escolha do método: podemos tentar parametrizar diretamente o semielipsoide e calcular F\cdot n e integrar — dá para fazer, mas é trabalhoso. Um jeito muito mais simples é usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície com o disco elíptico em z=0. Vou explicar isso passo a passo.
Teorema da Divergência (forma que vamos usar): se V é o sólido limitado pela superfície fechada orientada externamente \partial V, então
Aqui tomamos V como a região dentro do semielipsoide (ou seja, a metade superior do elipsoide). A fronteira \partial V é a união do semielipsoide S (orientado externamente) com o disco elíptico D em z=0. Assim
Observação sobre orientação em D: o disco D em z=0 fecha a parte inferior do sólido. O vetor normal externo ao sólido aponta para baixo sobre D, isto é, n_D = -\mathbf{k} = (0,0,-1). Vou usar isso no passo seguinte.
Passo 3
Calcular o fluxo através do disco D. No plano z=0 temos F(x,y,0)=(0,0,y^{2}) e n_D=(0,0,-1). Então o produto escalar é
Calcular a integral sobre o disco unitário usando coordenadas polares (u,v)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Então v=r\sin\theta, v^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta, e du\,dv = r\,dr\,d\theta. O domínio é 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi. Assim