Exercício 50. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=\left(0,0, y^{2}\right) e S o semielipsoide 2 x^{2}+3 y^{2}+ z^{2}=6, z \geq 0, com vetor normal n apontando para o exterior.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de fluxo
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s
onde a campo vetorial é
F(x,y,z)=\bigl(0,0,y^{2}\bigr)
e a superfície S é o semielipsoide definido por
2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6,\qquad z\ge 0,
com o vetor normal n apontando para o exterior do sólido. Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a parte superior (semiesfera superior no caso de elipsoide) da elipsoide, isto é, a fronteira superior do sólido limitado por z\ge0.
  • A curva de contorno em z=0 é a elipse obtida impondo z=0 na equação: 2x^{2}+3y^{2}=6.
  • O campo F tem apenas componente em z, igual a y^{2}.

Passo 2

Escolha do método: podemos tentar parametrizar diretamente o semielipsoide e calcular F\cdot n e integrar — dá para fazer, mas é trabalhoso. Um jeito muito mais simples é usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície com o disco elíptico em z=0. Vou explicar isso passo a passo.
Teorema da Divergência (forma que vamos usar): se V é o sólido limitado pela superfície fechada orientada externamente \partial V, então
\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Aqui tomamos V como a região dentro do semielipsoide (ou seja, a metade superior do elipsoide). A fronteira \partial V é a união do semielipsoide S (orientado externamente) com o disco elíptico D em z=0. Assim
\iint_{S} F\cdot n\,dS + \iint_{D} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Agora calculemos \nabla\cdot F. Como F=(0,0,y^{2}),
\nabla\cdot F=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(y^{2})=0+0+0=0.
Portanto o volume integral é zero:
\iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV=0.
Logo
\iint_{S} F\cdot n\,dS + \iint_{D} F\cdot n\,dS = 0
e portanto
\iint_{S} F\cdot n\,dS = -\iint_{D} F\cdot n\,dS.
Observação sobre orientação em D: o disco D em z=0 fecha a parte inferior do sólido. O vetor normal externo ao sólido aponta para baixo sobre D, isto é, n_D = -\mathbf{k} = (0,0,-1). Vou usar isso no passo seguinte.

Passo 3

Calcular o fluxo através do disco D. No plano z=0 temos F(x,y,0)=(0,0,y^{2}) e n_D=(0,0,-1). Então o produto escalar é
F\cdot n_D = (0,0,y^{2})\cdot(0,0,-1) = -y^{2}.
Logo
\iint_{D} F\cdot n\,dS = \iint_{D} -y^{2}\,dA = -\iint_{D} y^{2}\,dA,
onde D é a região elíptica no plano z=0 definida por
2x^{2}+3y^{2}\le 6.
Usando a relação obtida no passo anterior,
\iint_{S} F\cdot n\,dS = -\iint_{D} F\cdot n\,dS = -\bigl(-\iint_{D} y^{2}\,dA\bigr) = \iint_{D} y^{2}\,dA.
Então o problema reduz-se a calcular a integral de área
\iint_{D} y^{2}\,dA,
sobre a elipse 2x^{2}+3y^{2}\le 6.

Passo 4

Transformação para simplificar a elipse. A região D pode ser reescrita dividindo por 6:
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}\le 1.
Portanto os semi-eixos são a=\sqrt{3} (em x) e b=\sqrt{2} (em y). Faço a mudança linear
x = a\,u = \sqrt{3}\,u,\qquad y = b\,v = \sqrt{2}\,v,
de modo que a elipse em (x,y) vira o disco unitário \{(u,v): u^{2}+v^{2}\le 1\}. O jacobiano dessa transformação é
\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = a b = \sqrt{3}\,\sqrt{2}=\sqrt{6}.
Na nova variável,
y^{2} = b^{2} v^{2} = (\sqrt{2})^{2} v^{2} = 2 v^{2},
e dA = |J|\,du\,dv = \sqrt{6}\,du\,dv. Portanto
\iint_{D} y^{2}\,dA = \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} \bigl(2 v^{2}\bigr)\bigl(\sqrt{6}\bigr)\,du\,dv = 2\sqrt{6}\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv.

Passo 5

Calcular a integral sobre o disco unitário usando coordenadas polares (u,v)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Então v=r\sin\theta, v^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta, e du\,dv = r\,dr\,d\theta. O domínio é 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi. Assim
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\, r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta \int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
Calcule as integrais separadamente:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi
(usar que a média de \sin^{2}\theta em um período é 1/2). Portanto
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v^{2}\,du\,dv = \pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}.
Voltando à expressão do Passo 4,
\iint_{D} y^{2}\,dA = 2\sqrt{6}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi\sqrt{6}}{2}.
Lembre que esse valor é exatamente o fluxo solicitado, pois \iint_{S}F\cdot n\,dS = \iint_{D} y^{2}\,dA (Passo 3).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\sqrt{6}}{2}

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