Exercício 53. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(2 x y, z, y) e S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=\right. 1,-1 \leq z \leq 1\}, com vetor normal n apontando para o interior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds
onde F(x,y,z)=(2xy,\,z,\,y) e S é a superfície lateral do cilindro de raio 1 e altura 2,
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2=1,\; -1\le z\le 1\},
com o vetor normal unitário n apontando para o interior do cilindro. \n
Informações dadas:
  • A superfície S é o cilindro lateral (sem as tampas) de raio 1 centrado no eixo z, com z entre -1 e 1.
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=(2xy,\,z,\,y).
  • O normal pedido é o unitário apontando para o interior do cilindro. \n
    O que há que calcular: a integral de fluxo \iint_{S} (F\cdot n)\,ds sobre essa superfície lateral com orientação para o interior.

Passo 2

Escolha do método: vamos parametrizar a superfície lateral do cilindro e computar diretamente a integral de superfície usando a fórmula com o vetor de área orientado. Essa é a forma mais direta para cilindros e evita ter que fechar a superfície. \n
Parametrização natural do cilindro (raio 1):
\mathbf{r}(\theta,z) = (\cos\theta,\,\sin\theta,\,z),
com 0\le\theta\le 2\pi e -1\le z\le 1. \n
Aqui \theta percorre a circunferência e z percorre a altura. Essa parametrização descreve cada ponto da superfície exatamente uma vez.

Passo 3

Cálculo dos vetores tangentes e do elemento de área orientado. \n
Derivadas da parametrização:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=(-\sin\theta,\,\cos\theta,\,0),
\mathbf{r}_z(\theta,z)=(0,\,0,\,1).
Produto vetorial (orientação padrão \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z):
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = (\cos\theta,\,\sin\theta,\,0).
Observação: \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z é um vetor normal à superfície e tem norma \| \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\|=1, portanto é também o vetor normal unitário apontando para fora do cilindro (veja que suas componentes na direção radial são (\cos\theta,\sin\theta,0)). \n
Como o enunciado exige o normal apontando para o interior, o vetor normal unitário pedido é
n(\theta,z)= -(\cos\theta,\,\sin\theta,\,0).
O elemento de área é \,ds=\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\|\,d\theta\,dz = 1\cdot d\theta\,dz.

Passo 4

Avaliar o campo F na parametrização. Substituímos x=\cos\theta, y=\sin\theta, e mantemos z:
F(\mathbf{r}(\theta,z)) = (2xy,\,z,\,y) = (2\cos\theta\sin\theta,\,z,\,\sin\theta).

Passo 5

Calcular o produto escalar F\cdot n sobre a superfície com o normal interior. \n
Usando n(\theta,z)=-(\cos\theta,\sin\theta,0) e F(\mathbf{r}(\theta,z)) acima:
F\cdot n = -(2\cos\theta\sin\theta\cdot\cos\theta + z\cdot\sin\theta + \sin\theta\cdot 0).
Simplificando com x=\cos\theta e y=\sin\theta:
F\cdot n = -\big(2\cos^2\theta\sin\theta + z\sin\theta\big) = -\sin\theta\,(2\cos^2\theta + z).

Passo 6

Montar a integral dupla sobre o domínio (\theta,z)\in[0,2\pi]\times[-1,1]:
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds = \int_{z=-1}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi} -\sin\theta\,(2\cos^2\theta + z)\,d\theta\,dz.
Separamos em duas integrais:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2\pi} -2\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta\,dz \quad+\quad \int_{-1}^{1}\int_{0}^{2\pi} -z\sin\theta\,d\theta\,dz.

Passo 7

Calcular cada integral em \theta. Primeiro termo:
\int_{0}^{2\pi} \sin\theta\cos^2\theta\,d\theta.
Uma primitiva é -\tfrac{1}{3}\cos^3\theta, logo
\int_{0}^{2\pi} \sin\theta\cos^2\theta\,d\theta = \Big[-\tfrac{1}{3}\cos^3\theta\Big]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{1}{3}(1-1)=0.
Assim o primeiro termo (com o fator -2 e a integração em z) contribui zero. \n
Segundo termo em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_{0}^{2\pi} = -1+1=0.
Como esse resultado é zero, ao multiplicar por z e integrar em z sobre [-1,1] continua sendo zero.

Passo 8

Conclusão das integrais: ambas as parcelas são nulas, portanto
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds = 0.

Resposta

0

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