Exercício 53. Calcule
, onde
e
, com vetor normal
apontando para o interior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
e
é a superfície lateral do cilindro de raio
e altura
,
com o vetor normal unitário
apontando para o interior do cilindro. \n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A superfície
é o cilindro lateral (sem as tampas) de raio centrado no eixo , com entre e . - O campo vetorial é
. - O normal pedido é o unitário apontando para o interior do cilindro. \n
O que há que calcular: a integral de fluxosobre essa superfície lateral com orientação para o interior.
Passo 2
Escolha do método: vamos parametrizar a superfície lateral do cilindro e computar diretamente a integral de superfície usando a fórmula com o vetor de área orientado. Essa é a forma mais direta para cilindros e evita ter que fechar a superfície. \n
Parametrização natural do cilindro (raio ):
Parametrização natural do cilindro (raio
com
e
. \n
Aqui percorre a circunferência e
percorre a altura. Essa parametrização descreve cada ponto da superfície exatamente uma vez.
Aqui
Passo 3
Cálculo dos vetores tangentes e do elemento de área orientado. \n
Derivadas da parametrização:
Derivadas da parametrização:
Produto vetorial (orientação padrão
):
Observação:
é um vetor normal à superfície e tem norma
, portanto é também o vetor normal unitário apontando para fora do cilindro (veja que suas componentes na direção radial são
). \n
Como o enunciado exige o normal apontando para o interior, o vetor normal unitário pedido é
Como o enunciado exige o normal apontando para o interior, o vetor normal unitário pedido é
O elemento de área é
.
Passo 4
Avaliar o campo
na parametrização. Substituímos
,
, e mantemos
:
Passo 5
Calcular o produto escalar
sobre a superfície com o normal interior. \n
Usando e
acima:
Usando
Simplificando com
e
:
Passo 6
Montar a integral dupla sobre o domínio
:
Separamos em duas integrais:
Passo 7
Calcular cada integral em
. Primeiro termo:
Uma primitiva é
, logo
Assim o primeiro termo (com o fator
e a integração em
) contribui zero. \n
Segundo termo em :
Segundo termo em
Como esse resultado é zero, ao multiplicar por
e integrar em
sobre
continua sendo zero.
Passo 8
Conclusão das integrais: ambas as parcelas são nulas, portanto