Exercício 53. Resolva \int \tan (x) d x fazendo:
(a) u=\operatorname{sen}(x)
(b) u=\cos (x)
(c) Qual é mais fácil? Ambas resolvem?
Passo 1
O objetivo é calcular
\int \tan(x)\,dx
usando duas substituições diferentes. Vamos precisar da identidade \tan(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} e das regras de substituição u=\operatorname{sen}(x) e u=\cos(x).
Passo 2
(a) Substituição u=\operatorname{sen}(x).
Então \,du=\cos(x)\,dx, logo \,dx=\frac{du}{\cos(x)}. Reescrevendo o integrando:
\int \tan(x)\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
Passo 4
(c) Ambas as vias levam ao mesmo resultado
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
A escolha u=\cos(x) é mais direta porque já elimina a razão inteira num único passo, sem precisar usar identidade trigonométrica extra.
Resposta
(a) -\tfrac12 \ln\bigl|1-\operatorname{sen}^2(x)\bigr| + C, que simplifica para -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
(b) -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
(c) A substituição u=\cos(x) é mais fácil, mas ambas funcionam e dão o mesmo resultado.