Exercício 53. Resolva \int \tan (x) d x fazendo:
(a) u=\operatorname{sen}(x)
(b) u=\cos (x)
(c) Qual é mais fácil? Ambas resolvem?

Passo 1

O objetivo é calcular
\int \tan(x)\,dx
usando duas substituições diferentes. Vamos precisar da identidade \tan(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} e das regras de substituição u=\operatorname{sen}(x) e u=\cos(x).

Passo 2

(a) Substituição u=\operatorname{sen}(x).
Então
\,du=\cos(x)\,dx, logo \,dx=\frac{du}{\cos(x)}. Reescrevendo o integrando:
\tan(x)\,dx = \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx = \frac{u}{\cos(x)}\cdot\frac{du}{\cos(x)} = \frac{u}{\cos^2(x)}\,du.
Como \cos^2(x)=1-\operatorname{sen}^2(x)=1-u^2, fica
\int \tan(x)\,dx = \int \frac{u}{1-u^2}\,du.
Agora note que \frac{d(1-u^2)}{du}=-2u, então
\int \frac{u}{1-u^2}\,du = -\tfrac12 \int \frac{d(1-u^2)}{1-u^2} = -\tfrac12 \ln\bigl|1-u^2\bigr| + C.
Voltando a x:
1-u^2=\cos^2(x) \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12 \ln\bigl|\cos^2(x)\bigr| = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Passo 3

(b) Substituição u=\cos(x).
Então
\,du=-\operatorname{sen}(x)\,dx, ou seja \operatorname{sen}(x)\,dx=-du. Logo
\tan(x)\,dx = \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx = -\frac{du}{u}
e
\int \tan(x)\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Passo 4

(c) Ambas as vias levam ao mesmo resultado
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
A escolha u=\cos(x) é mais direta porque já elimina a razão inteira num único passo, sem precisar usar identidade trigonométrica extra.

Resposta

(a) -\tfrac12 \ln\bigl|1-\operatorname{sen}^2(x)\bigr| + C, que simplifica para -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
(b) -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
(c) A substituição u=\cos(x) é mais fácil, mas ambas funcionam e dão o mesmo resultado.

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