Exercício 52. Sabendo que \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x), determine as seguintes primitivas:
\int \frac{d x}{\sqrt{1-(x+1)^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - (x+1)^{2}}}
sabendo que
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \operatorname{arcsen}(x) + C.
O conteúdo principal é mudança de variável para reduzir ao caso padrão de \int 1/\sqrt{1 - u^{2}}\,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1,
então
du = dx
e o integrando fica
\frac{dx}{\sqrt{1 - (x+1)^{2}}} = \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 3

Usando a primitiva conhecida, temos
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \operatorname{arcsen}(u) + C.
Voltando à variável original x, obtemos
\operatorname{arcsen}(x+1) + C.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{1 - (x+1)^{2}}} = \operatorname{arcsen}(x+1) + C.

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