Exercício 54. Resolva:
\int \frac{\cos (3 x)}{\operatorname{sen}^{1 / 3}(3 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \frac{\cos(3x)}{\operatorname{sen}^{1/3}(3x)}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição. Vamos usar a substituição que simplifica o radicando da função seno.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{sen}(3x).
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = 3\cos(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(3x)\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em termos de u:
\frac{\cos(3x)}{\operatorname{sen}^{1/3}(3x)}\,dx = \frac{1}{u^{1/3}}\;\cos(3x)\,dx = \frac{1}{u^{1/3}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\;u^{-1/3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int \frac{1}{3}\,u^{-1/3}\,du = \frac{1}{3}\;\int u^{-1/3}\,du = \frac{1}{3}\;\frac{u^{(-1/3)+1}}{(-1/3)+1} + C = \frac{1}{3}\;\frac{u^{2/3}}{2/3} + C = \frac{1}{2}\;u^{2/3} + C.

Passo 5

Volta à variável x usando u=\operatorname{sen}(3x):
\frac{1}{2}\;u^{2/3} + C = \frac{1}{2}\,\operatorname{sen}^{2/3}(3x) + C.

Resposta

\int \frac{\cos(3x)}{\operatorname{sen}^{1/3}(3x)}\,dx = \tfrac12\,\operatorname{sen}^{2/3}(3x) + C.

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