Questão 1. Defina formalmente a derivada direcional e depois explique com suas palavras o que significa a definição e como podemos utilizá-la na prática. Em seguida, determine o vetor gradiente da função
no ponto
e a derivada direcional do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para:
– definir formalmente a derivada direcional de uma função de duas variáveis;
– explicar em palavras o que essa definição significa e como aplicá-la na prática;
– calcular o vetor gradiente de no ponto
;
– e determinar a derivada direcional de na direção do vetor
.
– definir formalmente a derivada direcional de uma função de duas variáveis;
– explicar em palavras o que essa definição significa e como aplicá-la na prática;
– calcular o vetor gradiente de
– e determinar a derivada direcional de
O conteúdo principal envolve derivadas parciais, gradiente e produto escalar.
Passo 2
A definição formal da derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
é
Se o vetor de direção
não for unitário, primeiro normalizamos
.
Passo 3
Em palavras,
mede a rapidez com que o valor de
muda quando nos movemos a partir de
exatamente na direção de
. Na prática, após obtermos o gradiente
, basta fazer o produto escalar
o que evita recalcular o limite toda vez.
Passo 4
Vamos achar
. Primeiro as derivadas parciais:
No ponto
:
Logo
Passo 5
Para a derivada direcional na direção de
normalizamos:
Então
Resposta
O vetor gradiente é
e a derivada direcional na direção de
vale