Questão 1. Defina formalmente a derivada direcional e depois explique com suas palavras o que significa a definição e como podemos utilizá-la na prática. Em seguida, determine o vetor gradiente da função f(x, y)=x^{2} y-x y^{3} no ponto P=(2,1) e a derivada direcional do vetor v=3 i+4 j.

Passo 1

O enunciado pede para:
– definir formalmente a derivada direcional de uma função de duas variáveis;
– explicar em palavras o que essa definição significa e como aplicá-la na prática;
– calcular o vetor gradiente de f(x,y)=x^2y - x y^3 no ponto P=(2,1);
– e determinar a derivada direcional de f na direção do vetor v=3\,i+4\,j.
O conteúdo principal envolve derivadas parciais, gradiente e produto escalar.

Passo 2

A definição formal da derivada direcional de f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} no ponto a=(x_0,y_0) na direção de um vetor unitário u=(u_1,u_2) é
D_{u}f(a) \;=\;\lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(x_0+hu_1,\;y_0+hu_2\bigr)-f(x_0,y_0)}{h}.
Se o vetor de direção v não for unitário, primeiro normalizamos u = v/\|v\|.

Passo 3

Em palavras, D_{u}f(a) mede a rapidez com que o valor de f muda quando nos movemos a partir de a exatamente na direção de u. Na prática, após obtermos o gradiente \nabla f(a), basta fazer o produto escalar
D_{u}f(a) \;=\;\nabla f(a)\cdot u,
o que evita recalcular o limite toda vez.

Passo 4

Vamos achar \nabla f(x,y). Primeiro as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy - y^3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2 - 3xy^2.
No ponto P=(2,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1) = 2\cdot2\cdot1 - 1^3 = 4 -1 =3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(2,1) = 2^2 - 3\cdot2\cdot1^2 =4 -6 = -2.
Logo
\nabla f(2,1) = (3,\,-2).

Passo 5

Para a derivada direcional na direção de v=(3,4) normalizamos:
\|v\| = \sqrt{3^2+4^2}=5, \quad u = \Bigl(\tfrac35,\;\tfrac45\Bigr).
Então
D_{u}f(2,1) \;=\;\nabla f(2,1)\cdot u =\;(3,\,-2)\cdot\Bigl(\tfrac35,\;\tfrac45\Bigr) =\frac{9}{5}-\frac{8}{5}=\frac{1}{5}.

Resposta

O vetor gradiente é
\nabla f(2,1) = (3,\,-2),
e a derivada direcional na direção de v=3\,i+4\,j vale
D_{v}f(2,1) = \frac{1}{5}.

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