Usando transformada de Laplace, obtenha a solução do problema de valor inicial abaixo.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos aplicar \mathcal{L} à equação diferencial e usar as fórmulas
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) e
\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo de y'' - y' - 2y=0 obtemos
\bigl(s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\bigr)\;-\;\bigl(sY(s) - y(0)\bigr)\;-\;2Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 na equação acima, vem
s^2Y(s) - s \;-\;\bigl(sY(s)-1\bigr)\;-\;2Y(s)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s^2 - s - 2) = s - 1.
Logo
Y(s)=\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}.

Passo 4

Para decompor em frações parciais, escrevemos
\frac{s-1}{(s-2)(s+1)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+1},
de modo que
s-1 = A(s+1)+B(s-2).
Igualando coeficientes, tem-se A+B=1 e A-2B=-1, cujo sistema dá
A=\frac{1}{3},\quad B=\frac{2}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{1/3}{s-2} + \frac{2/3}{s+1}.

Passo 5

Aplicando transformada inversa a cada termo, lembrando
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\}=e^{2t} e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}, vem
y(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t}.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t}.

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