Exercício 54. Resolva:
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.
O conteúdo aqui é mudança de variável em integrais com funções exponenciais, usando uma substituição que transforme o denominador em expressão quadrática simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x},
logo
du = e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{u}.
Reescrevendo o integrando:
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{1}{u + \frac{1}{u}} = \frac{1}{\frac{u^{2}+1}{u}} = \frac{u}{u^{2}+1}.
Portanto a integral torna-se
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx = \int \frac{u}{u^{2}+1}\,\frac{du}{u} = \int \frac{du}{u^{2}+1}.

Passo 3

Reconhecemos que
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável x, como u=e^{x}, obtemos
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx = \arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C

Exercícios relacionados