Exercício 55. Calcule a integral indefinida
\int \frac{x}{1+x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx.
Este tipo de integral costuma ficar bem mais simples usando a técnica de substituição, porque o numerador x\,dx sugere derivada de x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2},
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dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Isso transforma a parte 1+x^{4} em 1+t^{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx = \int \frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\;x\,dx = \int \frac{1}{1+t^{2}}\;\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^{2}}.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{dt}{1+t^{2}} = \arctan(t) + C,
portanto
\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{1}{2}\,\arctan(t) + C.
Voltando à variável x, como t = x^{2}, obtemos
\frac{1}{2}\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr) + C

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