Exercício 44. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 3, calcule um valor aproximado de:
\sqrt[3]{8.2}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt[3]{8,2} usando o polinômio de Taylor de ordem 3. Como \sqrt[3]{8}=2 é simples, vamos expandir
f(x)=x^{1/3}
em torno de a=8 e avaliar em x=8,2.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^{1/3},\quad a=8,\quad h = x - a = 8,2 - 8 = 0,2.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f em x=8:
f(8)=2,
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3} \quad\Longrightarrow\quad f'(8)=\frac{1}{3\cdot8^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot4}=\frac{1}{12},
f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3} \quad\Longrightarrow\quad f''(8)=-\frac{2}{9\cdot8^{5/3}}=-\frac{2}{9\cdot32}=-\frac{1}{144},
f'''(x)=\frac{10}{27}x^{-8/3} \quad\Longrightarrow\quad f'''(8)=\frac{10}{27\cdot8^{8/3}}=\frac{10}{27\cdot256}=\frac{10}{6912}.

Passo 4

O polinômio de Taylor de ordem 3 em a é
T_3(8+h)=f(8)+f'(8)\,h+\frac{f''(8)}{2!}\,h^2+\frac{f'''(8)}{3!}\,h^3.

Passo 5

Substituindo h=0,2:
f(8)=2,
f'(8)\,h=\frac{1}{12}\cdot0,2\approx0,01667,
\frac{f''(8)}{2}\,h^2=-\frac{1}{144\cdot2}\cdot(0,2)^2=-\frac{1}{288}\cdot0,04\approx-0,0001389,
\frac{f'''(8)}{6}\,h^3=\frac{10/6912}{6}\cdot(0,2)^3=\frac{10}{41472}\cdot0,008\approx0,00000193.
Somando tudo:
T_3(8,2)\approx2 + 0,01667 - 0,0001389 + 0,00000193 \approx 2,01653.

Resposta

O valor aproximado de \sqrt[3]{8,2} pelo polinômio de Taylor de ordem 3 é aproximadamente 2,01653.

Exercícios relacionados