Exercício 6. Se
da população de uma cidade é a favor de um projeto proposto pelo prefeito, estime (usando a aproximação da binomial pela normal) de que, em uma amostra aleatória de 176 pessoas, no máximo 93 sejam favoráveis ao projeto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede explicitamente o que seguir:
- Proporção de favoráveis na população:
, isto é . - Tamanho da amostra:
. - Variável aleatória: número de favoráveis na amostra, denotada por
, que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . - Pergunta: estimar (usando a aproximação da binomial pela normal) a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de
pessoas, no máximo sejam favoráveis ao projeto; ou seja, calcular .
Passo 2
Por que usar a aproximação da binomial pela normal aqui (explicando didaticamente)?
- A distribuição binomial é discreta (contagem de sucessos), mas quando
é grande e não é extremo (próximo de 0 ou 1), a forma da binomial fica parecida com a da normal. Isso nos permite usar a normal para calcular probabilidades com tabelas ou funções da normal padrão. - Regra prática: a aproximação é razoável quando
e são maiores que 5. Vamos checar: Calculando, e , ambos bem maiores que 5. Logo a aproximação é apropriada. - Observação importante (didática): como
é discreta e a normal é contínua, usaremos correção de continuidade para melhorar a aproximação — isso será explicado no próximo passo.
Passo 3
Calcular média e desvio padrão da binomial (essas são as medidas que usamos para a normal aproximante) e explicar as fórmulas:
- Fórmula da média (valor esperado) da binomial:
. - Aqui,
é o número de ensaios (tamanho da amostra) e é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
- Aqui,
- Fórmula da variância da binomial:
. O desvio padrão é . - O termo
representa a probabilidade de fracasso em cada ensaio.
- O termo
Agora aplicando aos números dados:
Expliquei cada símbolo:
é a média esperada de
,
é o desvio padrão da distribuição aproximante.
Passo 4
Aplicar a correção de continuidade (explicação didática do porquê e como):
- Queremos
. Como é discreta, o evento inclui todos os inteiros . Ao aproximar por uma normal contínua , usamos a correção de continuidade deslocando o limite por . - Regra prática:
aproxima-se por . - Portanto:
onde .
Passo 5
Padronizar (transformar para a normal padrão) e calcular o valor
:
- A padronização transforma
em com média 0 e desvio 1 pela fórmula Aqui e . - Aplicando para o ponto
: Mostrei os passos: e dividir por dá .
Passo 6
Usar a tabela da normal padrão (ou função acumulada) para obter a probabilidade:
- Precisamos de
. - Pela simetria da normal e tabelas usuais:
, onde é a função distribuição acumulada da normal padrão. - Então
- Interpretação: cerca de
de chance de, numa amostra de , no máximo pessoas serem favoráveis, segundo a aproximação.
Passo 7
Concluir com a resposta arredondada e comentário final curto de didática:
- A probabilidade aproximada é
, o que equivale a cerca de . - Dica rápida para a prova: calcule sempre
e , use correção de continuidade conforme o sinal (≤ usa +0{,}5, ≥ usa −0{,}5), padronize e consulte a tabela .