Exercício 6. Se 55 \% da população de uma cidade é a favor de um projeto proposto pelo prefeito, estime (usando a aproximação da binomial pela normal) de que, em uma amostra aleatória de 176 pessoas, no máximo 93 sejam favoráveis ao projeto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede explicitamente o que seguir:
  • Proporção de favoráveis na população: \,55\%, isto é \,p=0{,}55.
  • Tamanho da amostra: \,n=176.
  • Variável aleatória: número de favoráveis na amostra, denotada por X, que segue uma distribuição binomial com parâmetros \,n e \,p.
  • Pergunta: estimar (usando a aproximação da binomial pela normal) a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de \,176 pessoas, no máximo \,93 sejam favoráveis ao projeto; ou seja, calcular \,P(X\le 93).

Passo 2

Por que usar a aproximação da binomial pela normal aqui (explicando didaticamente)?
  • A distribuição binomial é discreta (contagem de sucessos), mas quando \,n é grande e \,p não é extremo (próximo de 0 ou 1), a forma da binomial fica parecida com a da normal. Isso nos permite usar a normal para calcular probabilidades com tabelas ou funções da normal padrão.
  • Regra prática: a aproximação é razoável quando \,np e \,n(1-p) são maiores que 5. Vamos checar: np = 176\cdot 0{,}55,\qquad n(1-p)=176\cdot 0{,}45.Calculando, \,np=96{,}8 e \,n(1-p)=79{,}2, ambos bem maiores que 5. Logo a aproximação é apropriada.
  • Observação importante (didática): como X é discreta e a normal é contínua, usaremos correção de continuidade para melhorar a aproximação — isso será explicado no próximo passo.

Passo 3

Calcular média e desvio padrão da binomial (essas são as medidas que usamos para a normal aproximante) e explicar as fórmulas:
  • Fórmula da média (valor esperado) da binomial: \mu = np.
    • Aqui, \,n é o número de ensaios (tamanho da amostra) e \,p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
  • Fórmula da variância da binomial: \sigma^2 = np(1-p). O desvio padrão é \sigma=\sqrt{np(1-p)}.
    • O termo (1-p) representa a probabilidade de fracasso em cada ensaio.
Agora aplicando aos números dados:
\mu = np = 176\cdot 0{,}55 = 96{,}8.
\sigma^2 = np(1-p) = 176\cdot 0{,}55\cdot 0{,}45 = 43{,}56.
\sigma = \sqrt{43{,}56} = 6{,}6.
Expliquei cada símbolo: \mu é a média esperada de X, \sigma é o desvio padrão da distribuição aproximante.

Passo 4

Aplicar a correção de continuidade (explicação didática do porquê e como):
  • Queremos \,P(X\le 93). Como X é discreta, o evento X\le 93 inclui todos os inteiros \le 93. Ao aproximar por uma normal contínua Y\sim N(\mu,\sigma^2), usamos a correção de continuidade deslocando o limite por \,0{,}5.
  • Regra prática: \,P(X\le k) aproxima-se por \,P(Y\le k+0{,}5).
  • Portanto: P(X\le 93)\approx P\bigl(Y\le 93{,}5\bigr),onde Y\sim N(96{,}8,\,6{,}6^2).

Passo 5

Padronizar (transformar para a normal padrão) e calcular o valor z:
  • A padronização transforma Y em Z com média 0 e desvio 1 pela fórmula Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.Aqui \mu=96{,}8 e \sigma=6{,}6.
  • Aplicando para o ponto 93{,}5: z=\frac{93{,}5-96{,}8}{6{,}6}=\frac{-3{,}3}{6{,}6}=-0{,}5.Mostrei os passos: 93{,}5-96{,}8=-3{,}3 e dividir por 6{,}6 -0{,}5.

Passo 6

Usar a tabela da normal padrão (ou função acumulada) para obter a probabilidade:
  • Precisamos de P(Z\le -0{,}5).
  • Pela simetria da normal e tabelas usuais: \Phi(0{,}5)\approx 0{,}6915, onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.
  • Então P(Z\le -0{,}5)=\Phi(-0{,}5)=1-\Phi(0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085.
  • Interpretação: cerca de 30{,}85\% de chance de, numa amostra de 176, no máximo 93 pessoas serem favoráveis, segundo a aproximação.

Passo 7

Concluir com a resposta arredondada e comentário final curto de didática:
  • A probabilidade aproximada é \,0{,}3085, o que equivale a cerca de 30{,}85\%.
  • Dica rápida para a prova: calcule sempre \mu=np e \sigma=\sqrt{np(1-p)}, use correção de continuidade \pm 0{,}5 conforme o sinal (≤ usa +0{,}5, ≥ usa −0{,}5), padronize e consulte a tabela \Phi.

Resposta

P(X\le 93)\approx 0{,}3085
\approx 30{,}85\%

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