Exercício 3. Seja X \sim N(5,16). Obtenha:
o intervalo que contém 95 \% dos valores centrais (intervalo simétrico em torno de \mu ) de X.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição normal e pede o intervalo central simétrico em torno da média que contém 95\% dos valores. Informações fornecidas:
X \sim N(5,16)
Isso significa que:
\mu = 5
\text{Var}(X)=16
O que se pede: encontrar um intervalo simétrico em torno de \mu que contenha 95\% da probabilidade total de X.

Passo 2

Entendendo o que é “intervalo central simétrico que contém 95\%”: isso significa escolher um número a>0 tal que
P(\mu - a < X < \mu + a) = 0,95.
Como o intervalo é simétrico em torno de \mu, as duas caudas (esquerda e direita) que ficam de fora somam 1-0,95=0,05. Cada cauda terá metade disso:
\text{área em cada cauda} = 0,025.á
Em termos da normal padrão Z (com média 0 e desvio-padrão 1), queremos o valor z>0 que satisfaça
P(-z < Z < z) = 0,95,
ou seja, a área acumulada até z é 0,975. O quantil correspondente é chamado de z_{0,975}.

Passo 3

Explicando a padronização (a fórmula que conecta X e Z): se X é normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, então
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
tem distribuição normal padrão. Assim,
P(\mu - a < X < \mu + a) = P\!\left(\frac{\mu - a - \mu}{\sigma} < Z < \frac{\mu + a - \mu}{\sigma}\right) = P\!\left(-\frac{a}{\sigma} < Z < \frac{a}{\sigma}\right).
Para que isso seja 0,95 devemos ter \frac{a}{\sigma} = z_{0,975}. Portanto o intervalo para X é
\mu \pm z_{0,975}\,\sigma.

Passo 4

Calculemos os parâmetros numéricos:
A variância dada é 16, então o desvio-padrão é
\sigma = \sqrt{16} = 4.
O quantil para a normal padrão com área acumulada 0,975 é (tabela ou cálculo comum)
z_{0,975} \approx 1,96.
Logo o semi-amplitude do intervalo é
z_{0,975}\,\sigma \approx 1,96 \times 4.

Passo 5

Façamos a multiplicação detalhada:
1,96 \times 4 = (1,96 \times 2)\times 2 = 3,92 \times 2 = 7,84.
Portanto o intervalo central simétrico em torno de \mu que contém 95\% dos valores é
\mu \pm 7,84 = 5 \pm 7,84.

Passo 6

Calculemos as extremidades:
\text{limite inferior} = 5 - 7,84 = -2,84,
\text{limite superior} = 5 + 7,84 = 12,84.
Podemos arredondar mantendo duas casas decimais (já obtidas acima). Esse intervalo significa que aproximadamente 95\% das observações de X caem entre -2,84 e 12,84.

Resposta

\left(-2,84;\\\ 12,84\right)

Exercícios relacionados