Exercício 3. Seja
. Obtenha:
o intervalo que contém
dos valores centrais (intervalo simétrico em torno de
) de
.
o intervalo que contém
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição normal e pede o intervalo central simétrico em torno da média que contém
dos valores. Informações fornecidas:
Isso significa que:
O que se pede: encontrar um intervalo simétrico em torno de
que contenha
da probabilidade total de
.
Passo 2
Entendendo o que é “intervalo central simétrico que contém
”: isso significa escolher um número
tal que
Como o intervalo é simétrico em torno de
, as duas caudas (esquerda e direita) que ficam de fora somam
. Cada cauda terá metade disso:
Em termos da normal padrão
(com média
e desvio-padrão
), queremos o valor
que satisfaça
ou seja, a área acumulada até
é
. O quantil correspondente é chamado de
.
Passo 3
Explicando a padronização (a fórmula que conecta
e
): se
é normal com média
e desvio-padrão
, então
tem distribuição normal padrão. Assim,
Para que isso seja
devemos ter
. Portanto o intervalo para
é
Passo 4
Calculemos os parâmetros numéricos:
A variância dada é , então o desvio-padrão é
A variância dada é
O quantil para a normal padrão com área acumulada
é (tabela ou cálculo comum)
Logo o semi-amplitude do intervalo é
Passo 5
Façamos a multiplicação detalhada:
Portanto o intervalo central simétrico em torno de
que contém
dos valores é
Passo 6
Calculemos as extremidades:
Podemos arredondar mantendo duas casas decimais (já obtidas acima). Esse intervalo significa que aproximadamente
das observações de
caem entre
e
.