Aqui vamos aplicar isso com X=U e g(x)=x^{n}. Vou explicar por que essa fórmula faz sentido: f_X(x) é a “massa” local de probabilidade e multiplicando por g(x) e integrando obtemos a média ponderada de g(X).
Passo 3
Escrevendo a densidade da uniforme e aplicando a definição:
Aqui eu usei explicitamente a informação da densidade da imagem/ enunciado.]
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int_{a}^{b} x^{n}\,dx. Usamos a regra básica de integrais de potências: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação curta do porquê: diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} dá x^{n} por causa da regra do poder (derivada de x^{m} é m x^{m-1}); aqui m=n+1, então a derivada devolve x^{n}. Como no problema temos n\ge 1, a fórmula é válida.
que é a média usual do intervalo (a,b) — ótimo, bate com o que esperamos. Outra observação útil (não necessária, só para intuição): a fração \dfrac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{b-a} é o somatório telescópico
b^{n}+b^{n-1}a+\cdots+ba^{n-1}+a^{n},
mas a forma final compacta é a que obtivemos acima.