Exercício 7. Seja U uma variável aleatória uniforme no intervalo (a, b). Calcule, para todo n \geq 1, E\left(U^{n}\right).

Passo 1

O enunciado diz: seja U uma variável aleatória uniforme no intervalo (a,b). Para todo n\ge 1, pede-se calcular E\big(U^{n}\big).
Informações dadas e pressupostos:
  • A variável U é contínua e tem distribuição uniforme no intervalo (a,b).
  • Suponho que a<b (caso contrário o intervalo faz pouco sentido como aberto com extensão positiva).
  • Queremos a esperança do monômio U^{n}, isto é, a média de U^{n} quando U é uniforme em (a,b).

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): para uma variável aleatória contínua X com densidade f_X(x), a esperança de uma função g(X) é
E\big(g(X)\big)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_X(x)\,dx.
Aqui vamos aplicar isso com X=U e g(x)=x^{n}. Vou explicar por que essa fórmula faz sentido: f_X(x) é a “massa” local de probabilidade e multiplicando por g(x) e integrando obtemos a média ponderada de g(X).

Passo 3

Escrevendo a densidade da uniforme e aplicando a definição:
  • A densidade de U é
f_U(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}, & a<x<b,\\[6pt]0,& \text{caso contrário.}\end{cases}á
  • Portanto
E\big(U^{n}\big)=\int_{-\infty}^{\infty} x^{n} f_U(x)\,dx =\int_{a}^{b} x^{n}\cdot \frac{1}{b-a}\,dx =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x^{n}\,dx.
Aqui eu usei explicitamente a informação da densidade da imagem/ enunciado.]

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int_{a}^{b} x^{n}\,dx. Usamos a regra básica de integrais de potências: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação curta do porquê: diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} x^{n} por causa da regra do poder (derivada de x^{m} é m x^{m-1}); aqui m=n+1, então a derivada devolve x^{n}. Como no problema temos n\ge 1, a fórmula é válida.

Passo 5

Aplicando a primitiva nos limites a e b:
\int_{a}^{b} x^{n}\,dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=a}^{x=b} =\frac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{n+1}.
Substituindo isso na expressão da esperança do Passo 3:
E\big(U^{n}\big)=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{n+1} =\frac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{(n+1)(b-a)}.

Passo 6

Vamos interpretar e checar com um caso simples para ganhar confiança: se n=1 a fórmula dá
E(U)=\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}=\frac{(b-a)(a+b)}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2},
que é a média usual do intervalo (a,b) — ótimo, bate com o que esperamos. Outra observação útil (não necessária, só para intuição): a fração \dfrac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{b-a} é o somatório telescópico
b^{n}+b^{n-1}a+\cdots+ba^{n-1}+a^{n},
mas a forma final compacta é a que obtivemos acima.

Resposta

\displaystyle E\big(U^{n}\big)=\frac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{(n+1)(b-a)}

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