Exercício 3.55. Um projétil é disparado de um plano inclinado (de inclinação \alpha ) com ângulo \theta de elevação relativo ao plano inclinado \left(0<\theta \leq \frac{\pi}{2}\right). Considere a velocidade inicial de lançamento v_{0} (fixo) e determine o lugar geométrico dos pontos de altura máxima relativo ao plano inclinado que atinge o projétil para cada valor de \theta (em relação às coordenadas x^{\prime} y^{\prime} ).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Há um plano inclinado com inclinação \alpha em relação à horizontal (valor fixo).
Um projétil é lançado a partir da superfície do plano com velocidade inicial fixa v_0 e ângulo de elevação \theta medido em relação ao plano inclinado, com 0<\theta\le \tfrac{\pi}{2}.
As coordenadas pedidas são x'y', onde x' é o eixo dirigido ao longo do plano, subindo no sentido do declive, e y' é o eixo perpendicular ao plano, apontando para fora (altura relativa ao plano).
O problema pede: para cada \theta (com v_0 fixo), encontrar o ponto de altura máxima do projétil relativo ao plano e então determinar o lugar geométrico desses pontos (ou seja, a curva formada por todos esses pontos máximos quando \theta varia).
Dados relevantes resumidos:
Parâmetros fixos: \alpha e v_0.
Parâmetro variável: \theta.
A gravidade tem intensidade g, apontando verticalmente para baixo (usar g nas contas).
Objetivo: equação do lugar geométrico em coordenadas x',y'.
Passo 2
Montar as equações de movimento nas coordenadas x',y'.
Explicação didática do que vamos fazer: como os eixos x',y' estão inclinados, a aceleração da gravidade tem componentes nessas direções. Projete o vetor \vec g=(0,-g) na base vectorial formada por x' (direção do plano, inclinado de \alpha acima da horizontal) e y' (normal ao plano). A componente de \vec g ao longo de x' aponta para baixo no sentido do declive e vale g\sin\alpha. A componente ao longo de y' aponta para dentro do plano e vale g\cos\alpha. Portanto, as acelerações (componentes escalarizadas) são:
Usando as fórmulas do movimento uniformemente acelerado (posição = velocidade inicial × t + \tfrac12 aceleração × t^2), obtemos as equações do movimento:
Comentário didático: essa fórmula faz sentido — quanto maior a componente vertical (em relação ao plano) v_0\sin\theta, maior o tempo até anular essa componente por causa da aceleração g\cos\alpha perpendicular ao plano.
Passo 4
Calcular as coordenadas (x'_m,y'_m) do ponto de altura máxima, substituindo t_{\max} nas expressões de x'(t) e y'(t).
Para organizar, é útil fatorar \dfrac{v_0^2}{2g\cos^2\alpha}. Defina temporariamente A=\dfrac{v_0^2}{2g\cos^2\alpha}. Então manipule os termos para escrever:
Para x'_m use a expressão derivada em Passo 4; multiplicando e agrupando termos obtemos
x'_m + y'_m\tan\alpha = B\sin2\theta.
Explicação dessa relação (resumo do cálculo): quando se substitui y'_m=B\sin^2\theta na expressão de x'_m e se recolhe termos, o lado esquerdo reduz a B\sin2\theta. Portanto temos a forma paramétrica do lugar geométrico (em função de \theta):
é o lugar geométrico pedido; depende dos parâmetros v_0, g e \alpha via B=\dfrac{v_0^2}{2g\cos\alpha}.
Verificação simples: para \alpha=0 (plano horizontal) temos \tan\alpha=0 e \cos\alpha=1, B=\dfrac{v_0^2}{2g}. A equação reduz-se a
x'^2 + 4y'^2 - 4By' = 0,
que é a forma conhecida do lugar geométrico dos vértices de projéteis lançados com mesma velocidade sobre um plano horizontal (pode também ser escrita como x'^2 = 4y'(B-y')). Portanto a fórmula geral confere com o caso particular conhecido.
Passo 8
Resumo final prático (como usar em prova).
Para obter o lugar geométrico escreva as componentes iniciais v_{x'}=v_0\cos\theta, v_{y'}=v_0\sin\theta e as acelerações a_{x'}=-g\sin\alpha, a_{y'}=-g\cos\alpha.
Ache t_{\max}=\dfrac{v_0\sin\theta}{g\cos\alpha}, substitua nas expressões de x'(t),y'(t) para obter x'_m,y'_m.
Use as identidades trigonométricas \sin2\theta e \sin^2\theta para eliminar \theta e chegar à equação implicitada dada acima.
\text{Equivalente em forma paramétrica:}\quad y'= \frac{v_0^2}{2g\cos\alpha}\sin^2\theta,\qquad x'+y'\tan\alpha=\frac{v_0^2}{2g\cos\alpha}\sin2\theta.é