Exercício 3.50. Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva \Gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida assim: \vec{r}(t)=\left(t, t, 2 t^{2}\right). No instante t=1 / 4 :
a) Determine a posição \vec{r}(t) e a velocidade V(t).
b) Determine o vetor unitário tangente \vec{T}(t) e a equação da reta tangente à curva \Gamma.
c) Determine a aceleração da partícula, a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
d) Determine a curvatura e a torção da curva \Gamma.
e) Determine o vetor unitário normal \vec{N}(t) e o vetor unitário binormal \vec{B}(t).
Passo 1
O enunciado dá a curva \Gamma por
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t,\;2t^{2}\bigr),
e pede, no instante t=\tfrac{1}{4}, as seguintes coisas:
(a) a posição \vec{r}(t) (avaliada em t=\tfrac{1}{4}) e a velocidade \vec{V}(t)=\vec{r}\,'(t) (avaliada em t=\tfrac{1}{4});
(b) o vetor unitário tangente \vec{T}(t) e a equação da reta tangente à curva \Gamma em t=\tfrac{1}{4};
(c) a aceleração \vec{a}(t)=\vec{r}\,''(t), a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta (no instante pedido);
(d) a curvatura \kappa(t) e a torção \tau(t) (no instante pedido);
(e) os vetores unitários normal \vec{N}(t) e binormal \vec{B}(t) (no instante pedido).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de \vec{r}(t). Não há nenhuma outra figura ou dado. A resolução começa calculando derivadas e magnitudes e depois aplicando fórmulas clássicas (velocidade, aceleração, \vec{T},\vec{N},\vec{B},\kappa,\tau).
Passo 2
Velocidade e posição (definições e cálculos).
Definição: a velocidade é derivada da posição: \vec{V}(t)=\vec{r}\,'(t). Derivando componente a componente,
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;1,\;4t\bigr).
A posição no instante t=\tfrac{1}{4} é obtida substituindo t em \vec{r}(t):
Equação da reta tangente: reta com ponto \vec{r}_0=\vec{r}(\tfrac{1}{4}) e direção dada por \vec{T}(\tfrac{1}{4}) (ou por \vec{V}(\tfrac{1}{4}), que é equivalente até escala). Em forma paramétrica com parâmetro s,
A aceleração centrípeta (ou normal) é a parte de \vec{a} perpendicular a \vec{T}: \vec{a}_{N}=\vec{a}-a_{T}\,\vec{T}. Assim, no instante t=\tfrac{1}{4} já conhecido \vec{T}(\tfrac{1}{4})=(1,1,1)/\sqrt{3} e a_{T}(\tfrac{1}{4})=4/\sqrt{3}; então o vetor tangencial é
A norma (magnitude) da aceleração centrípeta também pode ser obtida por \|\vec{a}_{N}\|=\kappa\|\vec{V}\|^{2} (vamos calcular \kappa adiante); numericamente aqui
Aqui \vec{a}(t)=(0,0,4) é constante, logo \vec{a}\,'(t)=\vec{0}. Isso implica imediatamente \tau(t)=0 para todo t. Portanto a curva tem torção zero (é planar).
Passo 7
Vetor unitário normal \vec{N}(t) (fórmula prática e cálculo).
Fórmula prática (evita derivar \vec{T}): use o triplo produto
(c) \vec{a}(t)=(0,0,4),\qquad \vec{a}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=(0,0,4).
Aceleração tangencial: a_{T}(t)=\dfrac{16t}{\sqrt{2+16t^{2}}},\qquad a_{T}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\dfrac{4}{\sqrt{3}}.
Aceleração centrípeta (vetor): \vec{a}_{N}=\vec{a}-a_{T}\vec{T},\qquad \vec{a}_{N}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\Bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\Bigr).
Módulo da aceleração centrípeta em t=\tfrac{1}{4}: \|\vec{a}_{N}(\tfrac{1}{4})\|=4\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
(d) Curvatura: \displaystyle \kappa(t)=\dfrac{4\sqrt{2}}{(2+16t^{2})^{3/2}},\qquad \kappa\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}.
Torção: \tau(t)=0 (para todo t, em particular em t=\tfrac{1}{4}).
(e) Vetor normal unitário: \displaystyle \vec{N}(t)=\dfrac{(-2t,-2t,1)}{\sqrt{8t^{2}+1}},\qquad
\vec{N}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\bigr).
Vetor binormal unitário: \displaystyle \vec{B}(t)=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}} (constante, vale também em t=\tfrac{1}{4}).