Exercício 3.50. Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva \Gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida assim: \vec{r}(t)=\left(t, t, 2 t^{2}\right). No instante t=1 / 4 :
a) Determine a posição \vec{r}(t) e a velocidade V(t).
b) Determine o vetor unitário tangente \vec{T}(t) e a equação da reta tangente à curva \Gamma.
c) Determine a aceleração da partícula, a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
d) Determine a curvatura e a torção da curva \Gamma.
e) Determine o vetor unitário normal \vec{N}(t) e o vetor unitário binormal \vec{B}(t).

Passo 1

O enunciado dá a curva \Gamma por
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t,\;2t^{2}\bigr),
e pede, no instante t=\tfrac{1}{4}, as seguintes coisas:
  • (a) a posição \vec{r}(t) (avaliada em t=\tfrac{1}{4}) e a velocidade \vec{V}(t)=\vec{r}\,'(t) (avaliada em t=\tfrac{1}{4});
  • (b) o vetor unitário tangente \vec{T}(t) e a equação da reta tangente à curva \Gamma em t=\tfrac{1}{4};
  • (c) a aceleração \vec{a}(t)=\vec{r}\,''(t), a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta (no instante pedido);
  • (d) a curvatura \kappa(t) e a torção \tau(t) (no instante pedido);
  • (e) os vetores unitários normal \vec{N}(t) e binormal \vec{B}(t) (no instante pedido).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de \vec{r}(t). Não há nenhuma outra figura ou dado. A resolução começa calculando derivadas e magnitudes e depois aplicando fórmulas clássicas (velocidade, aceleração, \vec{T},\vec{N},\vec{B},\kappa,\tau).

Passo 2

Velocidade e posição (definições e cálculos).
  • Definição: a velocidade é derivada da posição: \vec{V}(t)=\vec{r}\,'(t). Derivando componente a componente,
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;1,\;4t\bigr).
  • A posição no instante t=\tfrac{1}{4} é obtida substituindo t em \vec{r}(t):
\vec{r}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{4},\;2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{8}\Bigr).
  • A velocidade no instante t=\tfrac{1}{4} é
\vec{V}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\vec{r}\,'\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\Bigl(1,\;1,\;4\cdot\tfrac{1}{4}\Bigr)=\bigl(1,\;1,\;1\bigr).
  • Também é útil a rapidez (módulo da velocidade). Em geral
\|\vec{V}(t)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(4t)^{2}}=\sqrt{2+16t^{2}}.
No instante t=\tfrac{1}{4} temos \|\vec{V}(\tfrac{1}{4})\|=\sqrt{3}.

Passo 3

Vetor unitário tangente \vec{T}(t) e reta tangente (definição e cálculo).
  • Definição: \vec{T}(t)=\dfrac{\vec{V}(t)}{\|\vec{V}(t)\|}. Então, simbolicamente,
\vec{T}(t)=\dfrac{(1,\;1,\;4t)}{\sqrt{2+16t^{2}}}.
  • Avaliando em t=\tfrac{1}{4},
\vec{T}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
  • Equação da reta tangente: reta com ponto \vec{r}_0=\vec{r}(\tfrac{1}{4}) e direção dada por \vec{T}(\tfrac{1}{4}) (ou por \vec{V}(\tfrac{1}{4}), que é equivalente até escala). Em forma paramétrica com parâmetro s,
\ell(s)=\vec{r}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)+s\,\vec{T}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}\Bigr)+s\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
Uma forma alternativa (usando direção não unitária) é
\ell(\lambda)=\Bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}\Bigr)+\lambda\,(1,1,1).

Passo 4

Aceleração e componentes tangencial/normal (definição, cálculo e interpretação).
  • A aceleração é \vec{a}(t)=\vec{r}\,''(t). Derivando \vec{r}\,'(t)=(1,1,4t) obtemos
\vec{a}(t)=\bigl(0,\;0,\;4\bigr).
Portanto a aceleração é constante e, no instante pedido,
\vec{a}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=(0,0,4).
  • A aceleração tangencial (a componente de \vec{a} ao longo de \vec{T}) pode ser obtida por
a_{T}(t)=\dfrac{\vec{V}(t)\cdot\vec{a}(t)}{\|\vec{V}(t)\|}.
Calcule o produto escalar: \vec{V}(t)\cdot\vec{a}(t)=(1,1,4t)\cdot(0,0,4)=16t. Então
a_{T}(t)=\dfrac{16t}{\sqrt{2+16t^{2}}}.
No instante t=\tfrac{1}{4},
a_{T}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\dfrac{16\cdot\tfrac{1}{4}}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}.
  • A aceleração centrípeta (ou normal) é a parte de \vec{a} perpendicular a \vec{T}: \vec{a}_{N}=\vec{a}-a_{T}\,\vec{T}. Assim, no instante t=\tfrac{1}{4} já conhecido \vec{T}(\tfrac{1}{4})=(1,1,1)/\sqrt{3} e a_{T}(\tfrac{1}{4})=4/\sqrt{3}; então o vetor tangencial é
a_{T}\,\vec{T}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{3}(1,1,1).
Logo
\vec{a}_{N}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\vec{a}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)-a_{T}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)\vec{T}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr) =(0,0,4)-\dfrac{4}{3}(1,1,1)=\Bigl(-\tfrac{4}{3},\;-\tfrac{4}{3},\;\tfrac{8}{3}\Bigr).
  • A norma (magnitude) da aceleração centrípeta também pode ser obtida por \|\vec{a}_{N}\|=\kappa\|\vec{V}\|^{2} (vamos calcular \kappa adiante); numericamente aqui
\|\vec{a}_{N}(\tfrac{1}{4})\|=\sqrt{\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr)^{2}} =\dfrac{4}{3}\sqrt{6}=\;4\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
(Confirmação: 4\sqrt{2/3}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.)

Passo 5

Curvatura \kappa(t) (fórmula, cálculo e avaliação).
  • Fórmula prática usando velocidade e aceleração (quando \vec{V}\neq 0):
\kappa(t)=\dfrac{\|\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)\|}{\|\vec{V}(t)\|^{3}}.
  • Calcule o produto vetorial \vec{V}(t)\times\vec{a}(t). Com \vec{V}(t)=(1,1,4t) e \vec{a}(t)=(0,0,4),
\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)=(4,\,-4,\,0).
A norma é \|\vec{V}\times\vec{a}\|=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}=4\sqrt{2} (observe que é independente de t).
  • Assim, a curvatura geral é
\kappa(t)=\dfrac{4\sqrt{2}}{\bigl(\sqrt{2+16t^{2}}\bigr)^{3}} =\dfrac{4\sqrt{2}}{(2+16t^{2})^{3/2}}.
  • No instante t=\tfrac{1}{4} temos 2+16t^{2}=3, então
\kappa\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\dfrac{4\sqrt{2}}{3^{3/2}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}.

Passo 6

Torção \tau(t) (fórmula e conclusão).
  • Fórmula (forma útil): para uma curva regular
\tau(t)=\dfrac{\bigl(\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)\bigr)\cdot\vec{a}\,'(t)}{\|\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)\|^{2}}.
  • Aqui \vec{a}(t)=(0,0,4) é constante, logo \vec{a}\,'(t)=\vec{0}. Isso implica imediatamente \tau(t)=0 para todo t. Portanto a curva tem torção zero (é planar).

Passo 7

Vetor unitário normal \vec{N}(t) (fórmula prática e cálculo).
  • Fórmula prática (evita derivar \vec{T}): use o triplo produto
\vec{N}(t)=\dfrac{\bigl(\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)\bigr)\times\vec{V}(t)} {\big\|\bigl(\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)\bigr)\times\vec{V}(t)\big\|}.
  • Calculando \bigl(\vec{V}\times\vec{a}\bigr)\times\vec{V}: com \vec{V}=(1,1,4t) e \vec{V}\times\vec{a}=(4,-4,0) obtemos
\bigl(\vec{V}\times\vec{a}\bigr)\times\vec{V}=(-16t,\,-16t,\;8).
  • A norma desse vetor é \sqrt{(-16t)^{2}+(-16t)^{2}+8^{2}}=8\sqrt{8t^{2}+1}. Dividindo, obtemos a forma simplificada
\vec{N}(t)=\dfrac{(-16t,\,-16t,\;8)}{8\sqrt{8t^{2}+1}}=\dfrac{(-2t,\,-2t,\;1)}{\sqrt{8t^{2}+1}}.
  • Avaliando em t=\tfrac{1}{4}: 8t^{2}+1=8\cdot\tfrac{1}{16}+1=\tfrac{3}{2}. Logo
\vec{N}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\dfrac{\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\bigr)}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}} =\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{2},\;-\tfrac{\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{2},\;\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr).

Passo 8

Vetor unitário binormal \vec{B}(t) (fórmula e cálculo).
  • Definição: \vec{B}(t)=\dfrac{\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)}{\|\vec{V}(t)\times\vec{a}(t)\|}.
  • Já calculamos \vec{V}\times\vec{a}=(4,-4,0) e sua norma 4\sqrt{2}; portanto
\vec{B}(t)=\dfrac{(4,-4,0)}{4\sqrt{2}}=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}.
  • Observação: \vec{B}(t) é constante (não depende de t); em particular em t=\tfrac{1}{4} a mesma expressão vale.

Resposta

(a) \vec{r}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}\Bigr),\qquad \vec{V}(t)=\bigl(1,1,4t\bigr),\\ \vec{V}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=(1,1,1).
(b) \vec{T}(t)=\dfrac{(1,1,4t)}{\sqrt{2+16t^{2}}},\qquad \vec{T}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
Equação da reta tangente: \displaystyle \ell(s)=\Bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}\Bigr)+s\,\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} (ou \ell(\lambda)=\bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}\bigr)+\lambda(1,1,1)).
(c) \vec{a}(t)=(0,0,4),\qquad \vec{a}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=(0,0,4).
Aceleração tangencial: a_{T}(t)=\dfrac{16t}{\sqrt{2+16t^{2}}},\qquad a_{T}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\dfrac{4}{\sqrt{3}}.
Aceleração centrípeta (vetor): \vec{a}_{N}=\vec{a}-a_{T}\vec{T},\qquad \vec{a}_{N}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\Bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\Bigr).
Módulo da aceleração centrípeta em t=\tfrac{1}{4}: \|\vec{a}_{N}(\tfrac{1}{4})\|=4\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
(d) Curvatura: \displaystyle \kappa(t)=\dfrac{4\sqrt{2}}{(2+16t^{2})^{3/2}},\qquad \kappa\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}.
Torção: \tau(t)=0 (para todo t, em particular em t=\tfrac{1}{4}).
(e) Vetor normal unitário: \displaystyle \vec{N}(t)=\dfrac{(-2t,-2t,1)}{\sqrt{8t^{2}+1}},\qquad \vec{N}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\bigr).
Vetor binormal unitário: \displaystyle \vec{B}(t)=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}} (constante, vale também em t=\tfrac{1}{4}).

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