Exercício 3.54. Considere uma elipse de focos F_{1} e F_{2} e centro O. Considere P=(x, y) um ponto arbitrário da elipse e prove que
\measuredangle\left(F_{1} P O\right)=\measuredangle\left(F_{2} P O\right) .

Passo 1

O enunciado (o que é dado e o que se pede):
  • É dada uma elipse com focos F_{1} e F_{2} e centro O.
  • Seja P=(x,y) um ponto qualquer da elipse.
  • O que o enunciado pede: provar que
\measuredangle\left(F_{1} P O\right)=\measuredangle\left(F_{2} P O\right).
Ou seja: mostrar que o segmento PO bisseta o ângulo formado pelos segmentos PF_{1} e PF_{2}.

Passo 2

Vamos primeiro organizar um sistema de coordenadas para trabalhar de forma concreta e lembrar uma propriedade clássica da elipse. Colocamos o centro O na origem e os focos sobre o eixo x:
  • O=(0,0),
  • F_{1}=(-c,0) e F_{2}=(c,0),
  • a elipse tem equação \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 com \displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}.
    Aqui a>b>0 como de costume. O ponto P=(x,y) satisfaz essa equação.
Antes de tentar provar a igualdade de ângulos pedida, vou lembrar (e demonstrar brevemente) a propriedade correta e usual sobre a elipse que costuma causar confusão: a propriedade de reflexão (ou a relação entre foco, tangente e o ponto). Isso é importante para entender o que é verdadeiro e o que não é.

Passo 3

Propriedade clássica (reflexão): o segmento tangente à elipse em P faz ângulos iguais com PF_{1} e com PF_{2}. Em palavras: um raio vindo de F_{1} até P reflete na tangente e vai para F_{2}.
Demonstração curta (com noções que ajudam a entender por que essa propriedade é natural):
  • A elipse é o lugar geométrico dos pontos P tais que |PF_{1}|+|PF_{2}|=2a (constante).
  • Considere a função g(X)=|X F_{1}|+|X F_{2}|. No contorno da elipse g é constante. O gradiente \nabla g em P é ortogonal ao nível (à curva), ou seja, o gradiente dá a direção da normal à elipse em P.
  • Cálculo do gradiente: \nabla g(P)=\dfrac{P-F_{1}}{|P-F_{1}|}+\dfrac{P-F_{2}}{|P-F_{2}|}. Cada termo é um vetor unitário apontando de F_{i} para P; a soma desses dois vetores unitários é a direção normal à curva em P.
  • A normal é, portanto, a soma dos dois vetores unitários; geometricamente essa soma fica no bissetor do ângulo formado pelos vetores que vão de P para F_{1} e para F_{2} (lembre: o bissetor interno de um ângulo é a direção obtida somando os vetores unitários dirigidos ao longo dos lados do ângulo).
  • Como a tangente é perpendicular à normal, conclui-se que a tangente faz ângulos iguais com PF_{1} e com PF_{2}. Essa é a propriedade de reflexão clássica da elipse.
Observação didática rápida: esta propriedade é a que aparece em espelhos elípticos — uma lâmpada num foco ilumina o outro foco depois da reflexão na elipse.

Passo 4

Agora voltemos ao que o enunciado pede: que PO bisseta o ângulo F_{1}PF_{2}. Vou verificar se isso é verdadeiro em geral. Uma boa estratégia, quando se tem dúvidas sobre uma afirmação geométrica, é testar com um exemplo numérico concreto (contraprova), usando coordenadas que já estabelecemos.
Escolho um exemplo simples:
  • Tome a=5, b=3. Então \displaystyle c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.
  • Os focos: F_{1}=(-4,0) e F_{2}=(4,0).
  • Escolho um ponto P que satisfaça a equação da elipse; por exemplo x=3. Da equação \dfrac{3^{2}}{5^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1 vem
\frac{9}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{y^{2}}{9}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=9\cdot\frac{16}{25}=\frac{144}{25},
logo y=\frac{12}{5}=2{,}4. Portanto tomo P=(3,\tfrac{12}{5})=(3,2{,}4). (Verificação: |PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=10 realmente dá certo.)

Passo 5

Calculo das medidas angulares pedidas no exemplo (passo a passo, sem pular conta):
  • Vetores relevantes (todos originando em P): \overrightarrow{P O}=O-P=(0-3,0-2{,}4)=(-3,-2{,}4),
\overrightarrow{P F_{1}}=F_{1}-P =(-4-3,0-2{,}4)=(-7,-2{,}4),
\overrightarrow{P F_{2}}=F_{2}-P =(4-3,0-2{,}4)=(1,-2{,}4).
  • Normas (distâncias): |\overrightarrow{P O}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-2{,}4)^{2}}=\sqrt{9+5{,}76}=\sqrt{14{,}76}\approx3{,}843,
|\overrightarrow{P F_{1}}|=\sqrt{(-7)^{2}+(-2{,}4)^{2}}=\sqrt{49+5{,}76}=\sqrt{54{,}76}=7{,}4,
|\overrightarrow{P F_{2}}|=\sqrt{1^{2}+(-2{,}4)^{2}}=\sqrt{1+5{,}76}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6.
  • Produto escalar para obter cossenos dos ângulos: \overrightarrow{P F_{1}}\!\cdot\!\overrightarrow{P O}=(-7)(-3)+(-2{,}4)(-2{,}4)=21+5{,}76=26{,}76,
\overrightarrow{P F_{2}}\!\cdot\!\overrightarrow{P O}=(1)(-3)+(-2{,}4)(-2{,}4)=-3+5{,}76=2{,}76.
  • Cosseno dos ângulos com vértice em P: \cos\big(\measuredangle(F_{1} P O)\big)=\frac{26{,}76}{7{,}4\cdot3{,}843}\approx\frac{26{,}76}{28{,}432}\approx0{,}941\quad\Rightarrow\quad \measuredangle(F_{1} P O)\approx19{,}7^\circ,
\cos\big(\measuredangle(F_{2} P O)\big)=\frac{2{,}76}{2{,}6\cdot3{,}843}\approx\frac{2{,}76}{9{,}99}\approx0{,}276\quad\Rightarrow\quad \measuredangle(F_{2} P O)\approx74{,}0^\circ.

Passo 6

Interpretação do cálculo: para o ponto P=(3,2{,}4) na elipse com a=5,b=3 encontramos
\measuredangle(F_{1} P O)\approx19{,}7^\circ\quad\text{e}\quad\measuredangle(F_{2} P O)\approx74{,}0^\circ,
que NÃO são iguais. Assim a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Além disso, comente o que é verdadeiro: a propriedade que realmente vale (e que é frequentemente confundida com a do enunciado) é — como demonstrei no Passo 3 — que a tangente à elipse em P faz ângulos iguais com PF_{1} e PF_{2}. Não é o segmento PO (linha do centro) que bisseta o ângulo entre PF_{1} e PF_{2}.

Resposta

A afirmação é falsa. Exemplo: para a elipse com a=5, b=3, c=4 e P=(3,\tfrac{12}{5}) obtém-se \measuredangle(F_{1} P O)\approx19{,}7^\circ e \measuredangle(F_{2} P O)\approx74{,}0^\circ, que não são iguais.

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