Exercício 56. Determine:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente determinar o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve a função logarítmica natural \ln x e a função identidade x.
  • O limite é quando x tende a +\infty.
  • Domínio relevante: x>0 (pois \ln x está definida só para x>0).
    A tarefa é calcular esse limite e justificar por que o valor encontrado é correto.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): há várias maneiras naturais de avaliar esse limite. Vou usar duas abordagens complementares e didáticas:
  1. Uma abordagem elementar e direta por mudança de variável que mostra, com uma desigualdade simples, que o quociente tende a zero.
  2. Uma verificação rápida usando a regra de L’Hôpital (que muitas vezes aparece em provas).
Mostrar as duas ajuda a entender tanto a intuição (log cresce muito mais devagar que x) quanto um método mecânico aplicável na prova.

Passo 3

Abordagem por mudança de variável (muito didática).
Faço a substituição x=e^{t}. Como x\to\infty se e somente se t\to\infty, temos
\frac{\ln x}{x}=\frac{t}{e^{t}} \quad\text{quando } t=\ln x.
Agora basta mostrar que
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{t}}=0.
Para isso uso uma desigualdade simples baseada na série exponencial. Sabendo que
e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots,
todas as parcelas da série são não negativas quando t\ge0. Assim, para t\ge1 vale
e^{t}\ge \frac{t^{2}}{2}.
Daí, para t\ge1,
\frac{t}{e^{t}}\le \frac{t}{t^{2}/2}=\frac{2}{t}.
Como \displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{2}{t}=0, pelo princípio do confronto segue que
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{t}}=0.
Voltando à variável x, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.

Passo 4

Verificação alternativa usando a regra de L’Hôpital (método padrão):
Observa-se que, ao ir para x\to\infty,
\ln x\to\infty\quad\text{e}\quad x\to\infty,
então a forma é \infty/\infty, condição em que se pode aplicar a regra de L’Hôpital (quando numerador e denominador são diferenciáveis em um intervalo eventual e suas derivadas têm comportamento adequado). A regra diz que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)'}{(x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.
E claramente
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto, por L’Hôpital também obtemos o mesmo resultado: o limite é 0.

Passo 5

Intuição e reforço (para a prova): a função \ln x cresce sem limite quando x\to\infty, mas cresce muito mais lentamente do que x (ou do que qualquer potência x^{\alpha} com \alpha>0). Por isso o quociente \ln x/x tende a zero. A demonstração por desigualdade (Passo 3) é uma forma rigorosa e elementar de mostrar isso, enquanto L’Hôpital (Passo 4) é um atalho seguro se permitido na prova.

Resposta

0

Exercícios relacionados