Exercício 56. Determine:
Passo 1
O enunciado pede claramente determinar o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve a função logarítmica natural
e a função identidade . - O limite é quando
tende a . - Domínio relevante:
(pois está definida só para ).
A tarefa é calcular esse limite e justificar por que o valor encontrado é correto.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): há várias maneiras naturais de avaliar esse limite. Vou usar duas abordagens complementares e didáticas:
- Uma abordagem elementar e direta por mudança de variável que mostra, com uma desigualdade simples, que o quociente tende a zero.
- Uma verificação rápida usando a regra de L’Hôpital (que muitas vezes aparece em provas).
Mostrar as duas ajuda a entender tanto a intuição (log cresce muito mais devagar que
) quanto um método mecânico aplicável na prova.
Passo 3
Abordagem por mudança de variável (muito didática).
Faço a substituição . Como
se e somente se
, temos
Faço a substituição
Agora basta mostrar que
Para isso uso uma desigualdade simples baseada na série exponencial. Sabendo que
todas as parcelas da série são não negativas quando
. Assim, para
vale
Daí, para
,
Como
, pelo princípio do confronto segue que
Voltando à variável
, concluímos que
Passo 4
Verificação alternativa usando a regra de L’Hôpital (método padrão):
Observa-se que, ao ir para ,
Observa-se que, ao ir para
então a forma é
, condição em que se pode aplicar a regra de L’Hôpital (quando numerador e denominador são diferenciáveis em um intervalo eventual e suas derivadas têm comportamento adequado). A regra diz que
E claramente
Portanto, por L’Hôpital também obtemos o mesmo resultado: o limite é
.
Passo 5
Intuição e reforço (para a prova): a função
cresce sem limite quando
, mas cresce muito mais lentamente do que
(ou do que qualquer potência
com
). Por isso o quociente
tende a zero. A demonstração por desigualdade (Passo 3) é uma forma rigorosa e elementar de mostrar isso, enquanto L’Hôpital (Passo 4) é um atalho seguro se permitido na prova.