Exercício 52. Explique por que uma função pode não ter limite em um ponto mesmo sendo definida nele.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que uma função pode ser definida em um ponto e, mesmo assim, não ter limite nesse ponto.
Informações relevantes que temos que considerar:
  • A função pode ter um valor atribuído no ponto (ou seja, estar definida em a).
  • O que importa para o limite em a é o comportamento dos valores de f(x) quando x se aproxima de a (isto é, para x próximos de a, mas diferentes de a).
  • É preciso usar a definição formal de limite e/ou critérios práticos para mostrar a existência ou a não existência do limite.

Passo 2

Vamos lembrar a definição formal de limite (essa definição é essencial e não envolve o valor da função em a). Dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existir \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
O que essa definição diz em palavras simples:
  • Para mostrar que a função se aproxima do número L quando x\to a, basta garantir que todos os pontos x suficientemente próximos de a (mas não igual a a) têm f(x) dentro de uma janela de tamanho \varepsilon ao redor de L.
  • Note que a condição usa 0<|x-a|<\delta: o próprio ponto x=a não entra na exigência. Portanto, o valor f(a) não participa da definição do limite.

Passo 3

Um critério muito útil (e mais intuitivo para construir contraexemplos) é o critério sequencial:
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, e somente se, para toda sequência (x_n) tal que x_n\neq a para todo n e x_n\to a, a sequência f(x_n) converge para L.
Isto dá uma forma prática de mostrar que o limite NÃO existe: basta encontrar duas sequências x_n\to a e y_n\to a tais que as sequências f(x_n) e f(y_n) tenham limites diferentes. Assim não existe um único L que seja limite para todas as sequências que se aproximam de a.

Passo 4

Exemplo simples (limites laterais diferentes). Considere a função
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 5, & x=0,\\[4pt] 1, & x>0. \end{cases}
  • Para x_n=-\dfrac{1}{n} tem-se x_n\to 0 e f(x_n)=0 para todo n, logo f(x_n)\to 0.
  • Para y_n=\dfrac{1}{n} tem-se y_n\to 0 e f(y_n)=1 para todo n, logo f(y_n)\to 1.
    Como há duas sequências que se aproximam de 0 com dois limites diferentes de f, não existe \lim_{x\to 0} f(x). Observe que a função está claramente definida em 0 (valendo 5), mas isso não impede a não existência do limite.]

Passo 5

Exemplo de oscilação (sem limite mesmo embora definida). Tome
f(x)=\begin{cases} \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\[6pt] 0, & x=0. \end{cases}
Mostraremos que \lim_{x\to 0} f(x) não existe.
  • Considere a sequência x_n=\dfrac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}. Então x_n\to 0 quando n\to\infty e
f(x_n)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1,
portanto f(x_n)\to 1.
  • Considere a sequência y_n=\dfrac{1}{-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}. Também y_n\to 0 e
f(y_n)=\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=-1,
portanto f(y_n)\to -1.
Duas sequências que aproximam 0 produzem limites diferentes (1 e -1); logo não existe \lim_{x\to 0} f(x). A função está definida em 0 (valor 0), mas o comportamento arbitrariamente próximo a 0 oscila entre valores que não se aproximam de um único número.]

Passo 6

Exemplo com densidade de valores (função de Dirichlet). Defina
g(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Essa função está definida em todo ponto real a. Em qualquer intervalo ao redor de a há infinitos racionais e infinitos irracionais, então pode-se encontrar sequências de racionais r_n\to a com g(r_n)=1 e sequências de irracionais s_n\to a com g(s_n)=0. Como os limites desses g(r_n) e g(s_n) são 1 e 0 distintos, não existe \lim_{x\to a} g(x) para nenhum a. Mais uma vez: a função está definida em a, mas não há limite.]

Passo 7

Intuição e diferença entre estar definido em a e ter limite em a:
  • O valor f(a) é apenas um número isolado que a função toma naquele ponto.
  • O limite \lim_{x\to a} f(x) descreve o que acontece com f(x) quando x se aproxima de a por valores diferentes de a. Se os valores de f(x) próximos a a não se aproximarem de um único número, o limite não existe, independentemente de qual seja f(a).
  • Há três possibilidades concretas num ponto a:
    1. O limite existe e é igual a f(a) — ponto de continuidade.
    2. O limite existe e é diferente de f(a) — descontinuidade removível (a função poderia ser re-definida em a para ficar contínua).
    3. O limite não existe — por exemplo porque limites laterais são diferentes ou porque há oscilação/densidade de valores próximos a a.

Passo 8

Dicas práticas para a prova — como mostrar que não existe limite:
  • Método das sequências: encontre duas sequências x_n\to a e y_n\to a tais que \lim f(x_n)\neq\lim f(y_n). Isso prova que não existe limite. É frequentemente o caminho mais direto.
  • Limites laterais (no caso de função de uma variável real): mostrar que \lim_{x\to a^-} f(x)\neq\lim_{x\to a^+} f(x) basta para concluir que \lim_{x\to a} f(x) não existe.
  • Contradição com \varepsilon- \delta: escolher um \varepsilon>0 (por exemplo \varepsilon=\tfrac{1}{2} para funções que atingem 1 e -1) e provar que para todo \delta>0 existem pontos x e y com 0<|x-a|<\delta, 0<|y-a|<\delta e |f(x)-f(y)|\ge 2\varepsilon. Isso impede a existência de um único L satisfazendo a definição de limite.

Passo 9

Resumo final e resposta direta à pergunta (tom encorajador): uma função pode estar definida em um ponto e mesmo assim não ter limite ali porque o limite descreve o comportamento dos valores da função ao se aproximar do ponto, não o valor no ponto. Se os valores de f(x) para x muito próximos de a não ficam próximos de um único número (por exemplo porque aproximam-se por caminhos diferentes com limites distintos, ou porque os valores oscilam sem estabilizar), então não existe \lim_{x\to a} f(x), mesmo que f(a) esteja bem definido.

Resposta

Uma função pode ser definida em a e não ter limite em a porque o limite depende do comportamento dos valores f(x) quando x se aproxima de a (com x\neq a); se esses valores não se aproximam de um único número (por exemplo por limites laterais diferentes ou por oscilações), então \lim_{x\to a} f(x) não existe, independentemente do valor f(a).

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