Exercício 59. Mostre que polinômios são contínuos.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que polinômios são contínuos. Mais precisamente:
  • O que exige o problema: provar que qualquer polinômio p é contínuo em todo ponto a\in\mathbb{R} (ou seja, contínuo em \mathbb{R}).
  • Informação dada/implícita: um polinômio geral tem a forma
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n,
onde n é um inteiro não-negativo e os coeficientes a_0,a_1,\dots,a_n são números reais. Não há outras hipóteses (por exemplo sobre limites ou continuidade pré-existentes) além do que está implícito no próprio enunciado.

Passo 2

Vou lembrar a definição de continuidade num ponto, porque isso é o que vamos provar para cada ponto a.
  • Definição (epsilon-delta): a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em a\in\mathbb{R} se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, ocorre |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
  • Objetivo prático: dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir um \delta>0 que dependa de \varepsilon (e possivelmente de a e de f) que garanta |f(x)-f(a)|<\varepsilon sempre que |x-a|<\delta.

Passo 3

Primeiros exemplos básicos: constantes e função identidade — vamos provar que essas são contínuas (elas serão os blocos de construção).
  • Função constante: seja f(x)=c para algum c\in\mathbb{R}. Para qualquer a e qualquer \varepsilon>0 temos
|f(x)-f(a)|=|c-c|=0<\varepsilon,
para todo x. Portanto qualquer \delta>0 serve e f é contínua em todo a.
  • Função identidade: seja g(x)=x. Fixe a\in\mathbb{R} e seja \varepsilon>0. Se tomarmos \delta=\varepsilon, então sempre que |x-a|<\delta temos
|g(x)-g(a)|=|x-a|<\delta=\varepsilon.
Logo g é contínua em todo a.
Comentário curto e amigo: já temos dois tipos de funções simples que são contínuas — isso é útil porque polinômios são combinações (somas e produtos) dessas coisas.

Passo 4

Propriedades de continuidade que usaremos: soma, produto e multiplicação por escalar de funções contínuas. Vou demonstrar essas propriedades com provas epsilon-delta simples, porque precisamos saber que podemos somar e multiplicar funções contínuas sem perder continuidade.
  • Soma: se f e g são contínuas em a, então f+g é contínua em a.
Prova: seja \varepsilon>0. Como f é contínua em a, existe \delta_1>0 tal que |x-a|<\delta_1 implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon/2. Como g é contínua em a, existe \delta_2>0 tal que |x-a|<\delta_2 implica |g(x)-g(a)|<\varepsilon/2. Tomando \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, se |x-a|<\delta então
|(f+g)(x)-(f+g)(a)| \le |f(x)-f(a)| + |g(x)-g(a)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto f+g é contínua em a.
  • Multiplicação por escalar: se f é contínua em a e c\in\mathbb{R}, então cf é contínua em a.
Prova: seja \varepsilon>0. Pela continuidade de f existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon/|c| (se c=0 a afirmação é trivial). Então
|cf(x)-cf(a)| = |c|\,|f(x)-f(a)| < |c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|} = \varepsilon.
Logo cf é contínua em a.
  • Produto: se f e g são contínuas em a, então fg é contínua em a.
Prova (trabalhinho clássico): seja \varepsilon>0. Queremos um \delta>0 tal que |x-a|<\delta implique |f(x)g(x)-f(a)g(a)|<\varepsilon. Observe a identidade
f(x)g(x)-f(a)g(a)=f(x)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)+g(a)\bigl(f(x)-f(a)\bigr).
Logo, para |x-a|<\delta,
|f(x)g(x)-f(a)g(a)| \le |f(x)|\,|g(x)-g(a)| + |g(a)|\,|f(x)-f(a)|.
Pelo fato de f ser contínua em a, existe \delta_1>0 tal que |x-a|<\delta_1 implica |f(x)-f(a)|<1. Isso garante que, para tais x, |f(x)|\le |f(a)|+1. Também pela continuidade de f e g em a existem \delta_2,\delta_3>0 tais que |x-a|<\delta_2 implica |f(x)-f(a)|<\dfrac{\varepsilon}{2(|g(a)|+1)} e |x-a|<\delta_3 implica |g(x)-g(a)|<\dfrac{\varepsilon}{2(|f(a)|+1)}. Tomando
\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\},
temos para |x-a|<\delta:
|f(x)g(x)-f(a)g(a)| \le (|f(a)|+1)\cdot\frac{\varepsilon}{2(|f(a)|+1)} + |g(a)|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|g(a)|+1)} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Assim fg é contínua em a.
Comentário amigo: os detalhes acima são o padrão que os autores usam. A ideia-chave foi controlar f(x) por um número conhecido e usar a continuidade para deixar os termos pequenos.

Passo 5

Conseqüência: produtos finitos e somas finitas de funções contínuas são contínuos. Mais precisamente, se f_1,\dots,f_m são contínuas em a, então qualquer combinação formada por somas e produtos finitos (e multiplicações por escalares) é contínua em a. Provém-se aplicando repetidamente as propriedades do passo anterior.

Passo 6

Continuidade dos monômios x^n. Vou provar por indução que a função h_n(x)=x^n é contínua em todo a, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}.
  • Base n=0: h_0(x)=x^0=1 é constante, logo contínua (Passo 3).
  • Caso n=1: h_1(x)=x é a identidade, contínua (Passo 3).
  • Passo indutivo: suponha h_k(x)=x^k contínua para algum k\ge 1. Então h_{k+1}(x)=x^{k+1}=x\cdot x^k = h_1(x)\cdot h_k(x). Como h_1 e h_k são contínuas em a, pelo resultado de produto (Passo 4) h_{k+1} é contínua em a. Isso completa a indução.
Portanto cada monômio x^n é contínuo em todo a\in\mathbb{R}.

Passo 7

Agora uso tudo junto para polinômios. Seja o polinômio
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n.
Cada função x\mapsto x^k é contínua (Passo 6). Multiplicando por escalares a_k mantém a continuidade (Passo 4). Finalmente, somando um número finito de funções contínuas obtemos uma função contínua (Passo 4). Logo p é contínuo em a. Como a era um ponto arbitrário de \mathbb{R}, concluímos que p é contínuo em todo \mathbb{R}.
Comentário motivador: portanto polinômios não têm “buracos” ou saltos — eles mudam de forma suave; na verdade são ainda melhores: são diferenciáveis, mas para a prova de continuidade basta o que mostramos.

Resposta

Todo polinômio p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n é contínuo em \mathbb{R}.

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