Exercício 59. Mostre que polinômios são contínuos.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que polinômios são contínuos. Mais precisamente:
- O que exige o problema: provar que qualquer polinômio
é contínuo em todo ponto (ou seja, contínuo em ). - Informação dada/implícita: um polinômio geral tem a forma
onde
é um inteiro não-negativo e os coeficientes
são números reais. Não há outras hipóteses (por exemplo sobre limites ou continuidade pré-existentes) além do que está implícito no próprio enunciado.
Passo 2
Vou lembrar a definição de continuidade num ponto, porque isso é o que vamos provar para cada ponto
.
- Definição (epsilon-delta): a função
é contínua em se, para todo , existe tal que, sempre que , ocorre . - Objetivo prático: dado um
arbitrário, construir um que dependa de (e possivelmente de e de ) que garanta sempre que .
Passo 3
Primeiros exemplos básicos: constantes e função identidade — vamos provar que essas são contínuas (elas serão os blocos de construção).
- Função constante: seja
para algum . Para qualquer e qualquer temos
para todo
. Portanto qualquer
serve e
é contínua em todo
.
- Função identidade: seja
. Fixe e seja . Se tomarmos , então sempre que temos
Logo
é contínua em todo
.
Comentário curto e amigo: já temos dois tipos de funções simples que são contínuas — isso é útil porque polinômios são combinações (somas e produtos) dessas coisas.
Passo 4
Propriedades de continuidade que usaremos: soma, produto e multiplicação por escalar de funções contínuas. Vou demonstrar essas propriedades com provas epsilon-delta simples, porque precisamos saber que podemos somar e multiplicar funções contínuas sem perder continuidade.
- Soma: se
e são contínuas em , então é contínua em .
Prova: seja
. Como
é contínua em
, existe
tal que
implica
. Como
é contínua em
, existe
tal que
implica
. Tomando
, se
então
Portanto
é contínua em
.
- Multiplicação por escalar: se
é contínua em e , então é contínua em .
Prova: seja
. Pela continuidade de
existe
tal que
implica
(se
a afirmação é trivial). Então
Logo
é contínua em
.
- Produto: se
e são contínuas em , então é contínua em .
Prova (trabalhinho clássico): seja
. Queremos um
tal que
implique
. Observe a identidade
Logo, para
,
Pelo fato de
ser contínua em
, existe
tal que
implica
. Isso garante que, para tais
,
. Também pela continuidade de
e
em
existem
tais que
implica
e
implica
. Tomando
temos para
:
Assim
é contínua em
.
Comentário amigo: os detalhes acima são o padrão que os autores usam. A ideia-chave foi controlar
por um número conhecido e usar a continuidade para deixar os termos pequenos.
Passo 5
Conseqüência: produtos finitos e somas finitas de funções contínuas são contínuos. Mais precisamente, se
são contínuas em
, então qualquer combinação formada por somas e produtos finitos (e multiplicações por escalares) é contínua em
. Provém-se aplicando repetidamente as propriedades do passo anterior.
Passo 6
Continuidade dos monômios
. Vou provar por indução que a função
é contínua em todo
, para todo
.
- Base
: é constante, logo contínua (Passo 3). - Caso
: é a identidade, contínua (Passo 3). - Passo indutivo: suponha
contínua para algum . Então . Como e são contínuas em , pelo resultado de produto (Passo 4) é contínua em . Isso completa a indução.
Portanto cada monômio
é contínuo em todo
.
Passo 7
Agora uso tudo junto para polinômios. Seja o polinômio
Cada função
é contínua (Passo 6). Multiplicando por escalares
mantém a continuidade (Passo 4). Finalmente, somando um número finito de funções contínuas obtemos uma função contínua (Passo 4). Logo
é contínuo em
. Como
era um ponto arbitrário de
, concluímos que
é contínuo em todo
.
Comentário motivador: portanto polinômios não têm “buracos” ou saltos — eles mudam de forma suave; na verdade são ainda melhores: são diferenciáveis, mas para a prova de continuidade basta o que mostramos.
Resposta
Todo polinômio
é contínuo em
.