Exercício 1 (56 pontos)
Considere a função
a. Qual é o domínio da
? (8 pontos).
b. Em quais pontos a função
é contínua? ( 8 pontos).
c. Calcule
d. Caso existam, quais são as assíntotas horizontais e verticas da
? (4 pontos).
e. A reta
é uma assíntota vertical? (4 pontos).
Considere a função
b. Em quais pontos a função
c. Calcule
e. A reta
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as seguintes coisas:
- (a) Qual é o domínio de
? - (b) Em quais pontos a função
é contínua? - (c) Calcular os limites
- (d) Se existirem, quais são as assíntotas horizontais e verticais de
? - (e) A reta
é uma assíntota vertical?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A presença de
exige que o radicando seja não-negativo: . - O denominador
não pode ser zero (pontos onde a função não está definida). - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Encontrar o domínio de
.
Conceito usado (aula rápida): para uma função que contém
em números reais, precisamos que o argumento da raiz seja
. Para uma expressão racional
precisamos também excluir valores que zeram o denominador.
Aplicando:
Isso significa
ou
.
Além disso devemos excluir
porque o denominador seria zero. Observe que
satisfaz
, então ele fica removido do conjunto.
Portanto o domínio é
Passo 3
Em quais pontos
é contínua?
Conceito usado (aula rápida): uma função composta por operações contínuas (adição, multiplicação, raiz quadrada em domínio apropriado, divisão quando o denominador é não-nulo) é contínua em pontos do domínio onde tudo está bem definido. Nos pontos extremos do domínio (como
e
) verificamos continuidade por limites unilaterais a partir do domínio.
Análise:
- A função
é contínua em todo o seu domínio ou . - O denominador
é contínuo e só é zero em . - A razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é diferente de zero.
Logo,
é contínua em todo ponto do domínio onde
. Como já excluímos
do domínio, concluímos que
é contínua em todo o domínio encontrado no Passo 2.
Verificação dos extremos:
- Em
: . Pode-se aproximar por valores do domínio que tendem a (pela direita) e ver que o limite é . Assim é contínua em . - Em
: . Aproximação pela esquerda (única possível no domínio) confirma continuidade.
Conclusão:
é contínua em todo ponto do conjunto
Passo 4
Calcular
.
Técnica (aula rápida): para limites quando
em expressões com potências de
, uma técnica eficiente é dividir numerador e denominador pelo maior grau de
presente. Aqui o maior grau é
.
Começo a manipular:
Dividindo numerador e denominador por
(para
isto é legítimo para análise do limite para
):
Agora note que, para
,
Portanto
Ao fazer
temos
e
, então
Passo 5
Calcular
.
Idéia (aula rápida): para
temos
. Reescrevemos similarmente e controlamos o sinal.
Começo:
Para
grande em módulo,
. Então
Dividindo numerador e denominador por
(aqui
é negativo, mas a divisão é formal para estudar o limite):
Ao fazer
temos
e
, portanto
Passo 6
Calcular
.
Observação inicial:
não está no domínio, então o limite pode ser finito, infinito ou não existir. Aqui o numerador quando
se aproxima de
tende a
um número positivo não nulo. O denominador
tende a
, mudando de sinal conforme chegamos pela esquerda ou pela direita.
Analisando as duas vizinhanças:
- Para
(pela esquerda) temos pequeno em módulo, e numerador próximo de . Então a razão tende a . - Para
(pela direita) temos pequeno, numerador próximo de . Então a razão tende a .
Como as duas limites unilaterais são infinitos com sinais opostos, o limite bilateral
não existe (diverge para
) e, mais precisamente, há uma assíntota vertical em
(explico isso no próximo passo).
Passo 7
Assíntotas horizontais e verticais (definições rápidas e aplicação).
Definição (aula rápida):
- Uma reta
é assíntota horizontal para à direita se e à esquerda se . - Uma reta vertical
é assíntota vertical se ou (pelo menos uma das laterais diverge).
Aplicando resultados anteriores:
- Do Passo 4:
. Logo é assíntota horizontal à direita. - Do Passo 5:
. Logo é assíntota horizontal à esquerda.
Alguns autores listam ambas como assíntotas horizontais simultaneamente (uma para cada infinito). - Do Passo 6: em
uma das limites unilaterais vai para e a outra para , portanto a reta é uma assíntota vertical.
Passo 8
A reta
é uma assíntota vertical?
Verificação direta: para que
fosse assíntota vertical, precisaríamos ter
. Mas
está no domínio (veja Passo 2), então
existe e é finito:
um número finito. Logo as vizinhanças de
não fazem
divergir; portanto
não é assíntota vertical.
Resposta
a)
b)
é contínua em todo o domínio:
c)
não existe (limites unilaterais:
,
)
d) Assíntotas horizontais:
(direita) e
(esquerda). Assíntota vertical:
.
e) Não;
não é assíntota vertical (pois
é finito).