Exercício 1 (56 pontos)
Considere a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-3}
a. Qual é o domínio da f ? (8 pontos).
b. Em quais pontos a função f é contínua? ( 8 pontos).
c. Calcule
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \text { (8 pontos), } \\\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \text { (8 pontos), } \\\ & \lim _{x \rightarrow 3} f(x) \text { (16 pontos). } \end{aligned}
d. Caso existam, quais são as assíntotas horizontais e verticas da f ? (4 pontos).
e. A reta x=4 é uma assíntota vertical? (4 pontos).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-3}
e pede as seguintes coisas:
  • (a) Qual é o domínio de f?
  • (b) Em quais pontos a função f é contínua?
  • (c) Calcular os limites \lim_{x\to+\infty} f(x),\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x),\qquad \lim_{x\to3} f(x).
  • (d) Se existirem, quais são as assíntotas horizontais e verticais de f?
  • (e) A reta x=4 é uma assíntota vertical?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A presença de \sqrt{x^{2}-4} exige que o radicando seja não-negativo: x^{2}-4\ge0.
  • O denominador x-3 não pode ser zero (pontos onde a função não está definida).
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Encontrar o domínio de f.
Conceito usado (aula rápida): para uma função que contém \sqrt{\cdot} em números reais, precisamos que o argumento da raiz seja \ge0. Para uma expressão racional \frac{\text{algo}}{x-3} precisamos também excluir valores que zeram o denominador.
Aplicando:
x^{2}-4\ge0 \iff x^{2}\ge4 \iff |x|\ge2.
Isso significa x\le-2 ou x\ge2.
Além disso devemos excluir x=3 porque o denominador seria zero. Observe que 3 satisfaz x\ge2, então ele fica removido do conjunto.
Portanto o domínio é
(-\infty,-2]\;\cup\;[2,3)\;\cup\;(3,\infty).

Passo 3

Em quais pontos f é contínua?
Conceito usado (aula rápida): uma função composta por operações contínuas (adição, multiplicação, raiz quadrada em domínio apropriado, divisão quando o denominador é não-nulo) é contínua em pontos do domínio onde tudo está bem definido. Nos pontos extremos do domínio (como -2 e 2) verificamos continuidade por limites unilaterais a partir do domínio.
Análise:
  • A função g(x)=\sqrt{x^{2}-4} é contínua em todo o seu domínio x\le-2 ou x\ge2.
  • O denominador h(x)=x-3 é contínuo e só é zero em x=3.
  • A razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é diferente de zero.
Logo, f é contínua em todo ponto do domínio onde x\neq3. Como já excluímos x=3 do domínio, concluímos que f é contínua em todo o domínio encontrado no Passo 2.
Verificação dos extremos:
  • Em x=2: f(2)=\dfrac{\sqrt{4-4}}{2-3}=0. Pode-se aproximar x por valores do domínio que tendem a 2 (pela direita) e ver que o limite é 0. Assim f é contínua em x=2.
  • Em x=-2: f(-2)=\dfrac{\sqrt{4-4}}{-2-3}=0. Aproximação pela esquerda (única possível no domínio) confirma continuidade.
Conclusão: f é contínua em todo ponto do conjunto
(-\infty,-2]\;\cup\;[2,3)\;\cup\;(3,\infty).

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x).
Técnica (aula rápida): para limites quando x\to\pm\infty em expressões com potências de x, uma técnica eficiente é dividir numerador e denominador pelo maior grau de x presente. Aqui o maior grau é x.
Começo a manipular:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-3}.
Dividindo numerador e denominador por x (para x>0 isto é legítimo para análise do limite para +\infty):
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{x}}.
Agora note que, para x>0,
\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}=\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}.
Portanto
f(x)=\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}{1-\frac{3}{x}}.
Ao fazer x\to+\infty temos \frac{4}{x^{2}}\to0 e \frac{3}{x}\to0, então
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{\sqrt{1-0}}{1-0}=1.

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x).
Idéia (aula rápida): para x\to -\infty temos |x|=-x. Reescrevemos similarmente e controlamos o sinal.
Começo:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-3}.
Para x<0 grande em módulo, \sqrt{x^{2}-4}=|x|\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}=-x\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}. Então
f(x)=\frac{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}{x-3}.
Dividindo numerador e denominador por x (aqui x é negativo, mas a divisão é formal para estudar o limite):
f(x)=\frac{-\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}{1-\frac{3}{x}}.
Ao fazer x\to-\infty temos \frac{4}{x^{2}}\to0 e \frac{3}{x}\to0, portanto
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\frac{-\sqrt{1-0}}{1-0}=-1.

Passo 6

Calcular \displaystyle\lim_{x\to3} f(x).
Observação inicial: x=3 não está no domínio, então o limite pode ser finito, infinito ou não existir. Aqui o numerador quando x se aproxima de 3 tende a
\sqrt{3^{2}-4}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5},
um número positivo não nulo. O denominador x-3 tende a 0, mudando de sinal conforme chegamos pela esquerda ou pela direita.
Analisando as duas vizinhanças:
  • Para x\to3^{-} (pela esquerda) temos x-3<0 pequeno em módulo, e numerador próximo de \sqrt{5}>0. Então a razão tende a -\infty.
  • Para x\to3^{+} (pela direita) temos x-3>0 pequeno, numerador próximo de \sqrt{5}>0. Então a razão tende a +\infty.
Como as duas limites unilaterais são infinitos com sinais opostos, o limite bilateral \lim_{x\to3} f(x) não existe (diverge para \pm\infty) e, mais precisamente, há uma assíntota vertical em x=3 (explico isso no próximo passo).

Passo 7

Assíntotas horizontais e verticais (definições rápidas e aplicação).
Definição (aula rápida):
  • Uma reta y=L é assíntota horizontal para f à direita se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L e à esquerda se \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical se \lim_{x\to a^{-}} f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^{+}} f(x)=\pm\infty (pelo menos uma das laterais diverge).
Aplicando resultados anteriores:
  • Do Passo 4: \lim_{x\to+\infty} f(x)=1. Logo y=1 é assíntota horizontal à direita.
  • Do Passo 5: \lim_{x\to-\infty} f(x)=-1. Logo y=-1 é assíntota horizontal à esquerda.
    Alguns autores listam ambas como assíntotas horizontais simultaneamente (uma para cada infinito).
  • Do Passo 6: em x=3 uma das limites unilaterais vai para +\infty e a outra para -\infty, portanto a reta x=3 é uma assíntota vertical.

Passo 8

A reta x=4 é uma assíntota vertical?
Verificação direta: para que x=4 fosse assíntota vertical, precisaríamos ter \lim_{x\to4^{\pm}} f(x)=\pm\infty. Mas x=4 está no domínio (veja Passo 2), então f(4) existe e é finito:
f(4)=\frac{\sqrt{4^{2}-4}}{4-3}=\frac{\sqrt{16-4}}{1}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},
um número finito. Logo as vizinhanças de 4 não fazem f divergir; portanto x=4 não é assíntota vertical.

Resposta

a) (-\infty,-2]\cup[2,3)\cup(3,\infty)
b) f é contínua em todo o domínio: (-\infty,-2]\cup[2,3)\cup(3,\infty)
c) \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=1
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=-1
\displaystyle\lim_{x\to3} f(x) não existe (limites unilaterais: \lim_{x\to3^-} f(x)=-\infty, \lim_{x\to3^+} f(x)=+\infty)
d) Assíntotas horizontais: y=1 (direita) e y=-1 (esquerda). Assíntota vertical: x=3.
e) Não; x=4 não é assíntota vertical (pois f(4)=2\sqrt{3} é finito).

Exercícios relacionados