Exercício 56. Prove que, qualquer que seja o vetor
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede para provar que, para qualquer vetor
, vale
- Informações dadas (implícitas):
são os vetores unitários da base canônica de . O símbolo representa o produto vetorial (cross product). - Objetivo: mostrar a identidade acima para um vetor arbitrário
.
Passo 2
Vou colocar o vetor
em coordenadas na base canônica para trabalhar com componentes (isso é totalmente geral porque qualquer vetor em
pode ser escrito assim). Escrevo
Lembrete útil: a norma ao quadrado de
é a soma dos quadrados das componentes:
Passo 3
Vou usar a fórmula componente a componente do produto vetorial. Para dois vetores
e
vale
Aplicando essa fórmula com
e
obtenho:
Passo 4
Calculo a norma ao quadrado de
. Pelo que encontramos,
Passo 5
Faço o mesmo para
. Pela fórmula do produto vetorial:
Logo a norma ao quadrado é
Passo 6
E para
temos pela mesma fórmula:
A norma ao quadrado é
Passo 7
Agora somo as três normas ao quadrado que calculei:
Pela definição da norma ao quadrado,
. Substituindo, concluo a identidade desejada.]
Passo 8
Comentário intuitivo rápido (opcional): cada
mede a componente de
perpendicular ao vetor de base
; somando sobre uma base ortonormal o resultado dá duas vezes a energia total
. Mas a prova com componentes acima é direta e sem ambiguidades.