Exercício 56. Prove que, qualquer que seja o vetor \vec{v},\|\vec{v} \wedge \vec{i}\|^{2}+\|\vec{v} \wedge \vec{j}\|^{2}+\|\vec{v} \wedge \vec{k}\|^{2}=2\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede para provar que, para qualquer vetor \vec{v}, vale
\|\vec{v}\wedge\vec{i}\|^{2}+\|\vec{v}\wedge\vec{j}\|^{2}+\|\vec{v}\wedge\vec{k}\|^{2}=2\|\vec{v}\|^{2}.
  • Informações dadas (implícitas): \vec{i},\vec{j},\vec{k} são os vetores unitários da base canônica de \mathbb{R}^{3}. O símbolo \wedge representa o produto vetorial (cross product).
  • Objetivo: mostrar a identidade acima para um vetor arbitrário \vec{v}.

Passo 2

Vou colocar o vetor \vec{v} em coordenadas na base canônica para trabalhar com componentes (isso é totalmente geral porque qualquer vetor em \mathbb{R}^3 pode ser escrito assim). Escrevo
\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}).
Lembrete útil: a norma ao quadrado de \vec{v} é a soma dos quadrados das componentes:
\|\vec{v}\|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.

Passo 3

Vou usar a fórmula componente a componente do produto vetorial. Para dois vetores \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) vale
\vec{a}\wedge\vec{b}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).
Aplicando essa fórmula com \vec{a}=\vec{v} e \vec{b}=\vec{i}=(1,0,0) obtenho:
\vec{v}\wedge\vec{i}=(0,\;v_{3},\;-v_{2}).

Passo 4

Calculo a norma ao quadrado de \vec{v}\wedge\vec{i}. Pelo que encontramos,
\|\vec{v}\wedge\vec{i}\|^{2}=0^{2}+v_{3}^{2}+(-v_{2})^{2}=v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.

Passo 5

Faço o mesmo para \vec{j}=(0,1,0). Pela fórmula do produto vetorial:
\vec{v}\wedge\vec{j}=(-v_{3},\;0,\;v_{1}).
Logo a norma ao quadrado é
\|\vec{v}\wedge\vec{j}\|^{2}=(-v_{3})^{2}+0^{2}+v_{1}^{2}=v_{1}^{2}+v_{3}^{2}.

Passo 6

E para \vec{k}=(0,0,1) temos pela mesma fórmula:
\vec{v}\wedge\vec{k}=(v_{2},\;-v_{1},\;0).
A norma ao quadrado é
\|\vec{v}\wedge\vec{k}\|^{2}=v_{2}^{2}+(-v_{1})^{2}+0^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}.

Passo 7

Agora somo as três normas ao quadrado que calculei:
\begin{aligned} \|\vec{v}\wedge\vec{i}\|^{2}+\|\vec{v}\wedge\vec{j}\|^{2}+\|\vec{v}\wedge\vec{k}\|^{2} &=(v_{2}^{2}+v_{3}^{2})+(v_{1}^{2}+v_{3}^{2})+(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})\\[4pt] &=2v_{1}^{2}+2v_{2}^{2}+2v_{3}^{2}\\[4pt] &=2\bigl(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\bigr). \end{aligned}
Pela definição da norma ao quadrado, v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=\|\vec{v}\|^{2}. Substituindo, concluo a identidade desejada.]

Passo 8

Comentário intuitivo rápido (opcional): cada \|\vec{v}\wedge\vec{e}_{r}\|^{2} mede a componente de \vec{v} perpendicular ao vetor de base \vec{e}_{r}; somando sobre uma base ortonormal o resultado dá duas vezes a energia total \|\vec{v}\|^{2}. Mas a prova com componentes acima é direta e sem ambiguidades.

Resposta

\|\vec{v} \wedge \vec{i}\|^{2}+\|\vec{v} \wedge \vec{j}\|^{2}+\|\vec{v} \wedge \vec{k}\|^{2}=2\|\vec{v}\|^{2}

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