Exercício 53. Suponha que os vetores \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} de V^{3} verificam as relações \vec{a} \wedge \vec{b}=\vec{c} \wedge \vec{d} e \vec{a} \wedge \vec{c}=\vec{b} \wedge \vec{d}. Prove que os vetoees \vec{a}-\vec{d} e \vec{b}-\vec{c} são L.D.

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades entre produtos vetoriais (wedge) em V^{3}:
\vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{c}\wedge\vec{d} \qquad\text{e}\qquad \vec{a}\wedge\vec{c}=\vec{b}\wedge\vec{d}.
O que se pede: provar que os vetores \vec{a}-\vec{d} e \vec{b}-\vec{c} são linearmente dependentes (L.D.), isto é, que um é múltiplo escalar do outro ou um deles é o vetor nulo.

Passo 2

Lembretes sobre o produto vetorial (aqui \wedge significa produto vetorial em \mathbb{R}^3; escrevo também \times quando for mais prático):
  • Bilinearidade / distributividade: para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e escalar \lambda, (\vec{u}+\vec{v})\wedge\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{w}+\vec{v}\wedge\vec{w}, \qquad (\lambda\vec{u})\wedge\vec{v}=\lambda(\vec{u}\wedge\vec{v}).
  • Antissimetria: \vec{u}\wedge\vec{v}=-\,\vec{v}\wedge\vec{u}.
  • \vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0} para todo \vec{u}.
  • Propriedade fundamental usada aqui: em \mathbb{R}^3, \vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0} se, e somente se, \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes (isto é, são paralelos ou um é nulo). Uma forma de ver isso é lembrar que \|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; se a norma é zero, então \sin\theta=0 ou um dos vetores é zero, portanto há dependência linear.

Passo 3

Calculemos o produto vetorial (\vec{a}-\vec{d})\wedge(\vec{b}-\vec{c}) expandindo com a bilinearidade:
\begin{aligned} (\vec{a}-\vec{d})\wedge(\vec{b}-\vec{c}) &= \vec{a}\wedge\vec{b} - \vec{a}\wedge\vec{c} - \vec{d}\wedge\vec{b} + \vec{d}\wedge\vec{c}. \end{aligned}
Agora use a antissimetria para trocar \vec{d}\wedge\vec{b}=-\vec{b}\wedge\vec{d} e \vec{d}\wedge\vec{c}=-\vec{c}\wedge\vec{d}. Substituindo obtemos
\begin{aligned} (\vec{a}-\vec{d})\wedge(\vec{b}-\vec{c}) &= \vec{a}\wedge\vec{b} - \vec{a}\wedge\vec{c} + \vec{b}\wedge\vec{d} - \vec{c}\wedge\vec{d}. \end{aligned}

Passo 4

Agrupando termos convenientemente:
(\vec{a}-\vec{d})\wedge(\vec{b}-\vec{c}) = \big(\vec{a}\wedge\vec{b}-\vec{c}\wedge\vec{d}\big) + \big(\vec{b}\wedge\vec{d}-\vec{a}\wedge\vec{c}\big).
Pelo enunciado sabemos que \vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{c}\wedge\vec{d} e \vec{a}\wedge\vec{c}=\vec{b}\wedge\vec{d}. Portanto cada parêntese é o vetor zero, e assim
(\vec{a}-\vec{d})\wedge(\vec{b}-\vec{c})=\vec{0}.

Passo 5

Aplicando a propriedade citada no Passo 2 (em \mathbb{R}^3, o produto vetorial de dois vetores é nulo sse os vetores são linearmente dependentes), concluímos que \vec{a}-\vec{d} e \vec{b}-\vec{c} são linearmente dependentes. Ou seja, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{a}-\vec{d}=\lambda(\vec{b}-\vec{c})
ou um deles é o vetor nulo.

Resposta

\vec{a}-\vec{d} e \vec{b}-\vec{c} são linearmente dependentes.

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