Exercício 53. Suponha que os vetores
de
verificam as relações
e
. Prove que os vetoees
e
são L.D.
Passo 1
O enunciado dá duas igualdades entre produtos vetoriais (wedge) em
:
O que se pede: provar que os vetores
e
são linearmente dependentes (L.D.), isto é, que um é múltiplo escalar do outro ou um deles é o vetor nulo.
Passo 2
Lembretes sobre o produto vetorial (aqui
significa produto vetorial em
; escrevo também
quando for mais prático):
- Bilinearidade / distributividade: para quaisquer vetores
e escalar , - Antissimetria:
. -
para todo . - Propriedade fundamental usada aqui: em
, se, e somente se, e são linearmente dependentes (isto é, são paralelos ou um é nulo). Uma forma de ver isso é lembrar que , onde é o ângulo entre eles; se a norma é zero, então ou um dos vetores é zero, portanto há dependência linear.
Passo 3
Calculemos o produto vetorial
expandindo com a bilinearidade:
Agora use a antissimetria para trocar
e
. Substituindo obtemos
Passo 4
Agrupando termos convenientemente:
Pelo enunciado sabemos que
e
. Portanto cada parêntese é o vetor zero, e assim
Passo 5
Aplicando a propriedade citada no Passo 2 (em
, o produto vetorial de dois vetores é nulo sse os vetores são linearmente dependentes), concluímos que
e
são linearmente dependentes. Ou seja, existe
tal que
ou um deles é o vetor nulo.