Exercício 46. Sabendo que a medida em radianos do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \pi / 6, e que \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=7, calcule \|\vec{u} \times \vec{v}\| e \left\|\frac{1}{3} \vec{u} \times \frac{3}{4} \vec{v}\right\|. Interprete geometricamente o segundo valor obtido.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede dois cálculos:
Dados: \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=7 e o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \pi/6.
Pedidos:
Calcular \|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Calcular \displaystyle \left\|\frac{1}{3}\vec{u}\times\frac{3}{4}\vec{v}\right\|.
Vou trabalhar exatamente com esses dados e dar todos os passos para você entender e poder reproduzir na prova.
Passo 2
Fórmula importante que vamos usar (e vou explicar por que funciona): a magnitude do produto vetorial de dois vetores \vec{a} e \vec{b} é
onde \theta é o ângulo menor entre \vec{a} e \vec{b} (ou seja, 0\le\theta\le\pi). O que essa fórmula diz, na prática:
\|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a}.
\|\vec{b}\| é o comprimento de \vec{b}.
\sin\theta mede a componente de \vec{b} perpendicular a \vec{a} (ou vice-versa).
Geometricamente, \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo construído com \vec{a} e \vec{b} como lados. Isso já nos dá intuição do que o resultado representa.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso \vec{u} e \vec{v}: temos \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=7 e \theta=\pi/6. Portanto
Interpretação geométrica do segundo valor (passo-a-passo, bem didático):
\|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}; encontramos essa área igual a \dfrac{7}{2}.
Quando substituímos \vec{u} por \tfrac{1}{3}\vec{u} e \vec{v} por \tfrac{3}{4}\vec{v}, cada lado do paralelogramo é escalado: um fica com 1/3 do comprimento original e o outro com 3/4 do comprimento original.
A área do novo paralelogramo é o produto desses fatores vezes a área original, isto é \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4} vezes a área original.
Logo a nova área é um quarto da área original: \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{8}.
Em palavras amigáveis: escalar os lados por \tfrac{1}{3} e \tfrac{3}{4} deixa a área com apenas 25\% da área original.