Exercício 46. Sabendo que a medida em radianos do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \pi / 6, e que \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=7, calcule \|\vec{u} \times \vec{v}\| e \left\|\frac{1}{3} \vec{u} \times \frac{3}{4} \vec{v}\right\|. Interprete geometricamente o segundo valor obtido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede dois cálculos:
  • Dados: \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=7 e o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \pi/6.
  • Pedidos:
    1. Calcular \|\vec{u}\times\vec{v}\|.
    2. Calcular \displaystyle \left\|\frac{1}{3}\vec{u}\times\frac{3}{4}\vec{v}\right\|.
      Vou trabalhar exatamente com esses dados e dar todos os passos para você entender e poder reproduzir na prova.

Passo 2

Fórmula importante que vamos usar (e vou explicar por que funciona): a magnitude do produto vetorial de dois vetores \vec{a} e \vec{b} é
\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo menor entre \vec{a} e \vec{b} (ou seja, 0\le\theta\le\pi). O que essa fórmula diz, na prática:
  • \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a}.
  • \|\vec{b}\| é o comprimento de \vec{b}.
  • \sin\theta mede a componente de \vec{b} perpendicular a \vec{a} (ou vice-versa).
    Geometricamente, \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo construído com \vec{a} e \vec{b} como lados. Isso já nos dá intuição do que o resultado representa.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \vec{u} e \vec{v}: temos \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=7 e \theta=\pi/6. Portanto
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
Sabendo que \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, substituímos:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=1\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{2}.
Se preferir em decimal, \dfrac{7}{2}=3,5.

Passo 4

Agora vamos ao segundo item. Primeiro uma propriedade útil do produto vetorial com escalares: para escalares reais a e b vale
(a\vec{u})\times(b\vec{v}) = (ab)\,(\vec{u}\times\vec{v}).
Tomando normas (magnitudes) e lembrando que a norma de um produto por escalar é multiplicada pelo valor absoluto do escalar, obtemos
\left\| (a\vec{u})\times(b\vec{v}) \right\| = |ab|\,\|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Ou seja, escalar os vetores escala a área do paralelogramo pelo produto dos escalares em valor absoluto.

Passo 5

No nosso caso a=\tfrac{1}{3} e b=\tfrac{3}{4}. Primeiro calcule o produto dos escalares:
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.
Aplicando a propriedade de norma:
\left\|\frac{1}{3}\vec{u}\times\frac{3}{4}\vec{v}\right\|=\left|\frac{1}{4}\right|\,\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\frac{1}{4}\cdot\frac{7}{2}.
Fazendo a multiplicação:
\frac{1}{4}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{8}.
Em decimal isso é \frac{7}{8}=0,875.

Passo 6

Interpretação geométrica do segundo valor (passo-a-passo, bem didático):
  • \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}; encontramos essa área igual a \dfrac{7}{2}.
  • Quando substituímos \vec{u} por \tfrac{1}{3}\vec{u} e \vec{v} por \tfrac{3}{4}\vec{v}, cada lado do paralelogramo é escalado: um fica com 1/3 do comprimento original e o outro com 3/4 do comprimento original.
  • A área do novo paralelogramo é o produto desses fatores vezes a área original, isto é \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4} vezes a área original.
  • Logo a nova área é um quarto da área original: \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{8}.
    Em palavras amigáveis: escalar os lados por \tfrac{1}{3} e \tfrac{3}{4} deixa a área com apenas 25\% da área original.

Resposta

\dfrac{7}{2}=3,5
\dfrac{7}{8}=0,875

Exercícios relacionados