Exercício 57.
Se y=f(g(x)) e f^{\prime \prime} e g^{\prime \prime} existem, use a regra da cadeia para exprimir y^{\prime \prime}(x) em termos das derivadas primeira e segunda de f e g.

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y=f(g(x)) em função de f', f'', g' e g''. O conteúdo aqui é a regra da cadeia combinada com a regra do produto, pois ao diferenciar uma composição surgem produtos de derivadas.

Passo 2

Primeiro obtemos a derivada primeira usando a regra da cadeia:
y' = \frac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr) = f'\bigl(g(x)\bigr)\,\frac{d}{dx}g(x) = f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Passo 3

Agora derivamos y'. Como y' = f'(g(x))\,g'(x), aplicamos a regra do produto e, dentro dela, outra vez a regra da cadeia:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl[f'(g(x))\bigr]\;g'(x) + f'(g(x))\;\frac{d}{dx}g'(x).

Passo 4

Calculamos cada termo:
  1. \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[f'(g(x))\bigr] = f''\bigl(g(x)\bigr)\,\frac{d}{dx}g(x) = f''\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
  2. \displaystyle \frac{d}{dx}g'(x)=g''(x).
    Substituindo em y'':
y'' = \bigl[f''(g(x))\,g'(x)\bigr]\,g'(x) + f'(g(x))\,g''(x) = f''\bigl(g(x)\bigr)\,\bigl(g'(x)\bigr)^{2} + f'\bigl(g(x)\bigr)\,g''(x).

Resposta

y''(x) = f''\bigl(g(x)\bigr)\,\bigl(g'(x)\bigr)^{2} + f'\bigl(g(x)\bigr)\,g''(x).

Exercícios relacionados