Exercício 57.
Se
e
e
existem, use a regra da cadeia para exprimir
em termos das derivadas primeira e segunda de
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pede a segunda derivada de
em função de
,
,
e
. O conteúdo aqui é a regra da cadeia combinada com a regra do produto, pois ao diferenciar uma composição surgem produtos de derivadas.
Passo 2
Primeiro obtemos a derivada primeira usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora derivamos
. Como
, aplicamos a regra do produto e, dentro dela, outra vez a regra da cadeia:
Passo 4
Calculamos cada termo:
-
-
Substituindo em: