Exercício 59. Calcule a derivada de ordem 9759 de
, onde
é uma constante.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
onde
é constante. O conteúdo envolvido é o comportamento periódico das derivadas de seno e cosseno, que se repetem a cada 4 derivações.
Passo 2
Lembramos que, para todo inteiro
:
Isso porque cada derivação de
ou
introduz um fator
e desloca a fase em
.
Passo 3
Da linearidade da derivada, a derivada de ordem
de
é
Passo 4
Precisamos de
. Como as fases se repetem a cada 4, calculamos
Logo,
Usando as identidades
e
, obtemos