Exercício 59. Calcule a derivada de ordem 9759 de f(x)=\sin (k x)+\cos (k x), onde k é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 9759 da função
f(x)=\sin(kx)+\cos(kx),
onde k é constante. O conteúdo envolvido é o comportamento periódico das derivadas de seno e cosseno, que se repetem a cada 4 derivações.

Passo 2

Lembramos que, para todo inteiro n\ge0:
\frac{d^n}{dx^n}\bigl[\sin(kx)\bigr] = k^n \,\sin\!\bigl(kx + n\frac{\pi}{2}\bigr),
\frac{d^n}{dx^n}\bigl[\cos(kx)\bigr] = k^n \,\cos\!\bigl(kx + n\frac{\pi}{2}\bigr).
Isso porque cada derivação de \sin(kx) ou \cos(kx) introduz um fator k e desloca a fase em \pi/2.

Passo 3

Da linearidade da derivada, a derivada de ordem n de f é
f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n}\bigl[\sin(kx)\bigr] + \frac{d^n}{dx^n}\bigl[\cos(kx)\bigr] = k^n\bigl[\sin\!\bigl(kx + n\frac{\pi}{2}\bigr)+\cos\!\bigl(kx + n\frac{\pi}{2}\bigr)\bigr].

Passo 4

Precisamos de n=9759. Como as fases se repetem a cada 4, calculamos
9759 \bmod 4 = 3.
Logo,
f^{(9759)}(x) = k^{9759}\bigl[\sin\!\bigl(kx + 3\frac{\pi}{2}\bigr) +\cos\!\bigl(kx + 3\frac{\pi}{2}\bigr)\bigr].
Usando as identidades
\sin(\theta+3\pi/2)=-\cos\theta e \cos(\theta+3\pi/2)=-\sin\theta, obtemos
f^{(9759)}(x) = k^{9759}\bigl[-\cos(kx)-\sin(kx)\bigr] = -\,k^{9759}\bigl[\sin(kx)+\cos(kx)\bigr].

Resposta

f^{(9759)}(x) = -\,k^{9759}\bigl[\sin(kx)+\cos(kx)\bigr].

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