Exercício 5.Considere uma amostra de tamanho n=15 composta por crianças de 1 a 12 anos,sendo que a variável observada foi a altura(em cm)das crianças.A média da altura dessa amostra é 111,5 \mathrm{~cm} .Suponha que a menor altura da amostra é modificado de 85 cm para 70 cm após refazer as medições das crianças.
Qual é o valor da média após a modificação?Apresente os cálculos.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Média original das alturas: \bar{x}_{\text{old}}=111,5\\ \text{cm}.
  • Um valor da amostra foi alterado: passou de 85\\ \text{cm} para 70\\ \text{cm}.
  • Pergunta: qual é a nova média das alturas após essa modificação?

Passo 2

Relembrando a definição de média amostral (passo didático):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui: \bar{x} é a média da amostra, n é o número de observações (tamanho da amostra) e x_i são as observações individuais. A média é simplesmente a soma de todas as observações dividida por n.

Passo 3

Calcular a soma total original das observações a partir da média conhecida (explicando o raciocínio): se \bar{x}_{\text{old}}=\dfrac{S_{\text{old}}}{n}, então
S_{\text{old}}=n\cdot\bar{x}_{\text{old}}.
Substituindo os valores:
S_{\text{old}}=15\cdot 111,5.
Fazendo a conta (mostrando passo a passo): 111,5\cdot 10=1115 e 111,5\cdot 5=557,5. Somando,
S_{\text{old}}=1115+557,5=1672,5.

Passo 4

Atualizar a soma total ao trocar o valor 85 por 70 (explicando por que isso funciona): a nova soma é a soma antiga menos o valor antigo mais o novo valor,
S_{\text{new}}=S_{\text{old}}-85+70.
Substituindo S_{\text{old}}=1672,5,
S_{\text{new}}=1672,5-85+70=1672,5-15=1657,5.

Passo 5

Calcular a nova média dividindo a nova soma pelo mesmo n (mostrar a divisão):
\bar{x}_{\text{new}}=\frac{S_{\text{new}}}{n}=\frac{1657,5}{15}.
Fazendo a divisão: 15\cdot 110=1650 e sobra 7,5, ou seja 0,5 a mais; portanto
\bar{x}_{\text{new}}=110,5.

Passo 6

Atalho útil (fórmula prática) e demonstração: em geral, se só um valor muda de x_{\text{old}} para x_{\text{new}}, então
\bar{x}_{\text{new}}=\bar{x}_{\text{old}}+\frac{x_{\text{new}}-x_{\text{old}}}{n}.
Aplicando aqui:
\bar{x}_{\text{new}}=111,5+\frac{70-85}{15}=111,5-\frac{15}{15}=111,5-1=110,5.
Interpretando: a média caiu 1{,}0\\ \text{cm} porque uma observação diminuiu 15\\ \text{cm} e esse efeito se distribui igualmente entre as 15 observações ( 15/15=1).

Passo 7

Resumo final e motivação: a nova média é \,110{,}5\\ \text{cm}. Viu como é direto quando a gente transforma a média em soma, altera o termo e divide de novo? Você já pode aplicar esse procedimento rápido na prova — respira fundo, faz com calma e confere com o atalho.

Resposta

110,5\\ \text{cm}

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