Exercício 60 : Fatore completamente os polinômios:
P(x)=x^{3}-7 x^{2}+10 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
P(x)=x^{3}-7x^{2}+10x.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, em particular extração de fator comum e fatoração de um trinômio quadrático.

Passo 2

Observamos que todos os termos têm um fator x em comum. Aplicando a propriedade distributiva, escrevemos
P(x)=x^{3}-7x^{2}+10x = x\bigl(x^{2}-7x+10\bigr).

Passo 3

Para fatorar o quadrático
x^{2}-7x+10
buscamos dois números cuja soma seja 7 (coeficiente de x) e cujo produto seja 10 (termo constante). Esses números são 5 e 2. Logo,
x^{2}-7x+10 = (x-5)(x-2).

Passo 4

Substituindo de volta na expressão com fator comum, obtemos a fatoração completa:
P(x)=x\,(x-5)\,(x-2).

Resposta

P(x)=x(x-5)(x-2)

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