Exercício 61: Resolva a equação polinomial x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=0, sabendo que x=1 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial
x^{3}-6x^{2}+11x-6=0,
sabendo que x=1 é uma raiz. Vamos usar o Teorema do Resto (ou das Raízes) para concluir que x-1 é um fator, fazer a divisão de polinômios e depois resolver a equação quadrática resultante.

Passo 2

Como x=1 é raiz, dividimos
x^{3}-6x^{2}+11x-6
por x-1 usando divisão sintética. Colocando os coeficientes 1,\,-6,\,11,\,-6 e testando a raiz 1, obtemos quociente com coeficientes 1,\,-5,\,6 e resto zero. Logo,
x^{3}-6x^{2}+11x-6 = (x-1)\bigl(x^{2}-5x+6\bigr).

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
x^{2}-5x+6=0.
Podemos fatorar esse polinômio:
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Isso dá as raízes x=2 e x=3.

Resposta

As raízes da equação são
x=1, x=2 e x=3.

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