Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a taxa de variação máxima de f no ponto dado.
  • Determinar a direção em que essa taxa máxima ocorre.
O que o enunciado nos dá:
  • A função f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
  • Não foi dado um ponto numérico específico; portanto vou determinar a expressão da taxa máxima e da direção para um ponto genérico (x,y,z) onde a função é diferenciável.
Informações relevantes sobre a função (retiradas do enunciado):
  • O domínio real de f é \{(x,y,z)\mid 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0\}, isto é, a bola fechada de raio 1.
  • A função é diferenciável apenas na parte interior dessa bola, isto é quando 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0. Vou trabalhar com pontos (x,y,z) tais que x^{2}+y^{2}+z^{2}<1.
  • Caso especial: em (0,0,0) a derivada terá comportamento particular (vou tratar isso adiante).

Passo 2

Ideia-chave e conceito que vou usar (explicado devagar e com exemplo mental).
  • Para uma função diferenciável de várias variáveis, a derivada direcional na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot\mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla f(\mathbf{p}) é um vetor que aponta na direção de máximo crescimento de f em \mathbf{p}. A taxa máxima de crescimento (o maior valor possível de D_{\mathbf{u}}f ao variar \mathbf{u} unitário) é o comprimento do gradiente:
\max_{\|\mathbf{u}\|=1} D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\|\nabla f(\mathbf{p})\|,
e o vetor unitário que atinge esse máximo é
\mathbf{u}_{\text{max}}=\frac{\nabla f(\mathbf{p})}{\|\nabla f(\mathbf{p})\|}.
  • Intuição simples: o produto escalar \nabla f\cdot\mathbf{u}=\|\nabla f\|\cos\theta (onde \theta é o ângulo entre os vetores). Máximo ocorre quando \theta=0, ou seja, \mathbf{u} paralelo ao gradiente.

Passo 3

Calcular o gradiente de f passo a passo (cadeia e derivadas parciais).
  • Para simplificar, defina g(x,y,z)=1-x^{2}-y^{2}-z^{2}. Então f=\sqrt{g}=g^{1/2}.
  • Pela regra da cadeia, a derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}g^{-1/2}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
  • Como \dfrac{\partial g}{\partial x}=-2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}g^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{g}}.
  • Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{g}},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{z}{\sqrt{g}}.

Passo 4

Escrever o gradiente e notar o domínio de validade.
  • Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}},\; -\frac{y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}},\; -\frac{z}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}\right).
  • Observação importante: esta expressão só é válida e finita para pontos com 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0 (interior da bola unitária). Na fronteira 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0 o denominador é zero e a função não é diferenciável ali.

Passo 5

Calcular a norma do gradiente (que é a taxa máxima) passo a passo.
  • Compute a norma usando a fórmula \|\nabla f\|=\sqrt{\sum (\partial f/\partial x_i)^2}:
\|\nabla f\|=\sqrt{\frac{x^{2}}{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{y^{2}}{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{z^{2}}{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}
  • Fatorando o denominador comum:
\|\nabla f\|=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}.
  • Esta expressão é a taxa máxima de variação de f no ponto (x,y,z), para x^{2}+y^{2}+z^{2}<1.

Passo 6

Encontrar a direção onde a taxa máxima ocorre e discutir casos especiais.
  • A direção unitária de máximo crescimento é o gradiente normalizado:
\mathbf{u}_{\text{max}}=\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|} =\frac{\displaystyle\left(-\frac{x}{\sqrt{1-r^{2}}},-\frac{y}{\sqrt{1-r^{2}}},-\frac{z}{\sqrt{1-r^{2}}}\right)} {\displaystyle\frac{\sqrt{r^{2}}}{\sqrt{1-r^{2}}}} =\frac{(-x,-y,-z)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},
onde \,r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Interpretação simples: a direção de máximo aumento é a direção oposta ao vetor posição (x,y,z) (ou seja, aponta para o centro da esfera), normalizada para ter comprimento 1.
  • Caso especial em (0,0,0): aqui \nabla f(0,0,0)=(0,0,0) e \|\nabla f\|=0. Então a taxa máxima é 0 e não há uma única direção de máximo (qualquer direção dá derivada direcional 0).
  • Pontos na fronteira x^{2}+y^{2}+z^{2}=1: a expressão do gradiente explode (denominador zero) e a função não é diferenciável ali; portanto a análise de derivada não se aplica na fronteira.

Resposta

Taxa de variação máxima: \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}} para x^{2}+y^{2}+z^{2}<1. Em (0,0,0) a taxa máxima é 0.
Direção em que isso ocorre: \displaystyle \frac{(-x,-y,-z)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} (vetor unitário), definida para (x,y,z)\neq(0,0,0); em (0,0,0) a direção é indefinida (qualquer direção produz taxa 0).

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