Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a taxa de variação máxima de
no ponto dado. - Determinar a direção em que essa taxa máxima ocorre.
O que o enunciado nos dá:
- A função
. - Não foi dado um ponto numérico específico; portanto vou determinar a expressão da taxa máxima e da direção para um ponto genérico
onde a função é diferenciável.
Informações relevantes sobre a função (retiradas do enunciado):
- O domínio real de
é , isto é, a bola fechada de raio . - A função é diferenciável apenas na parte interior dessa bola, isto é quando
. Vou trabalhar com pontos tais que . - Caso especial: em
a derivada terá comportamento particular (vou tratar isso adiante).
Passo 2
Ideia-chave e conceito que vou usar (explicado devagar e com exemplo mental).
- Para uma função diferenciável de várias variáveis, a derivada direcional na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente e :
- O gradiente
é um vetor que aponta na direção de máximo crescimento de em . A taxa máxima de crescimento (o maior valor possível de ao variar unitário) é o comprimento do gradiente:
e o vetor unitário que atinge esse máximo é
- Intuição simples: o produto escalar
(onde é o ângulo entre os vetores). Máximo ocorre quando , ou seja, paralelo ao gradiente.
Passo 3
Calcular o gradiente de
passo a passo (cadeia e derivadas parciais).
- Para simplificar, defina
. Então . - Pela regra da cadeia, a derivada parcial em relação a
é
- Como
, obtemos
- Analogamente,
Passo 4
Escrever o gradiente e notar o domínio de validade.
- Portanto o gradiente é
- Observação importante: esta expressão só é válida e finita para pontos com
(interior da bola unitária). Na fronteira o denominador é zero e a função não é diferenciável ali.
Passo 5
Calcular a norma do gradiente (que é a taxa máxima) passo a passo.
- Compute a norma usando a fórmula
:
- Fatorando o denominador comum:
- Esta expressão é a taxa máxima de variação de
no ponto , para .
Passo 6
Encontrar a direção onde a taxa máxima ocorre e discutir casos especiais.
- A direção unitária de máximo crescimento é o gradiente normalizado:
onde
.
- Interpretação simples: a direção de máximo aumento é a direção oposta ao vetor posição
(ou seja, aponta para o centro da esfera), normalizada para ter comprimento . - Caso especial em
: aqui e . Então a taxa máxima é e não há uma única direção de máximo (qualquer direção dá derivada direcional ). - Pontos na fronteira
: a expressão do gradiente explode (denominador zero) e a função não é diferenciável ali; portanto a análise de derivada não se aplica na fronteira.
Resposta
Taxa de variação máxima:
para
. Em
a taxa máxima é
.
Direção em que isso ocorre:
(vetor unitário), definida para
; em
a direção é indefinida (qualquer direção produz taxa
).