Exercício 66. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9, x^{2}+y^{2} \leq\right. \left.z \leq 3 x^{2}+3 y^{2}\right\}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
O enunciado pede calcular o volume do conjunto W, ou seja, calcular a integral tripla
\iiint_{W} d x\, d y\, d z,
que é o volume de W.
O conjunto W é dado por pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades:
1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9,
x^{2}+y^{2} \leq z \leq 3x^{2}+3y^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A condição 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9 descreve uma região anular no plano xy com raio interno \sqrt{1} e externo \sqrt{9}.
Para cada ponto (x,y) dessa região anular, z varia de z = x^{2}+y^{2} até z = 3(x^{2}+y^{2}).
Não há restrição adicional em \theta (direção no plano), então a região é simétrica ao redor do eixo z.
Passo 2
Decidir a melhor coordenada e explicar a fórmula do volume naquelas coordenadas.
Observação prática: as condições envolvem x^{2}+y^{2}. Quando aparecem expressões apenas em x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares (ou cilíndricas, que adicionam o z). Isso simplifica limites e o cálculo do jacobiano.
Mudança para coordenadas cilíndricas:
Definições:x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,onde r\ge 0 é a distância radial ao eixo z e \theta é o ângulo.
Na mudança de variável a diferencial de volume tem o fator jacobiano r, isto é:d x\, d y\, d z = r\, d r\, d\theta\, d z.
Explicando o jacobiano: superfícies de área elementar no plano xy têm comprimento radial dr e arco r\,d\theta, por isso a área elementar é r\,dr\,d\theta; ao adicionar dz obtém-se o volume elementar r\,dr\,d\theta\,dz.
Passo 3
Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
A condição 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9 transforma-se em
1 \leq r^{2} \leq 9.
Tomando raiz positiva (já que r\ge0), obtemos
1 \leq r \leq 3.
As desigualdades para z,
x^{2}+y^{2} \leq z \leq 3x^{2}+3y^{2},
viram, em função de r,
r^{2} \leq z \leq 3r^{2}.
Como não há restrição angular explícita, \theta percorre toda a circunferência:
0 \leq \theta \leq 2\pi.
Portanto a integral do volume em coordenadas cilíndricas fica
\iiint_{W} d x\, d y\, d z = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3}\int_{z=r^{2}}^{3r^{2}} r\, d z\, d r\, d\theta.
Passo 4
Calcular a integral interna (integral em z), explicando cada etapa.
Para um r e \theta fixos, integra-se r em relação a z:
\int_{z=r^{2}}^{3r^{2}} r\, d z
Aqui r é constante em relação a z, então a integral é
Interpretação: para cada anel radial r a “altura” em z é 3r^{2}-r^{2}=2r^{2}; multiplicando pela área elementar radial r\,dr\,d\theta aparece a função 2r^{3} a integrar em r.
Passo 5
Calcular a integral em r, com detalhes e explicação das regras usadas.
Agora temos a integral em r e \theta:\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{1}^{3} 2r^{3}\, d r\right)d\theta.
Calcular a primitiva de 2r^{3} em relação a r. Regra usada: \displaystyle \int r^{n}\,dr=\frac{r^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando com n=3:\int 2r^{3}\, d r = 2\cdot\frac{r^{4}}{4} = \frac{r^{4}}{2}.
Avaliar de r=1 até r=3:\left.\frac{r^{4}}{2}\right|_{1}^{3}=\frac{3^{4}}{2}-\frac{1^{4}}{2}=\frac{81}{2}-\frac{1}{2}=\frac{80}{2}=40.
Conclusão desta etapa: a integral interna em r resulta em 40. Assim a integral reduz-se a uma integral só em \theta.
Passo 6
Calcular a integral em \theta e finalizar a expressão (deixando a simplificação final para a seção de resposta).
A integral restante é\int_{0}^{2\pi} 40\, d\theta.
Integrando uma constante em \theta usa-se \displaystyle \int_{0}^{2\pi} C\, d\theta = C\cdot(2\pi-0)=C\cdot 2\pi.
Aplicando aqui:40\cdot 2\pi.(Esta é a forma antes da simplificação numérica final.)