Exercício 67. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é dada por
-
(disco de raio no plano ), -
e (apenas o primeiro quadrante no plano ), -
(altura constante em entre e ).
Resumo do que foi dado:
- A projeção de
no plano é um quarto de disco de raio . - Em
a região vai de a . - A função a integrar é
.
O que se pede:
- Calcular o valor numérico da integral tripla acima sobre
.
Passo 2
Escolher coordenadas e descrever limites em detalhe (explicação didática).
Para integrar sobre um disco (ou parte dele) é muito prático usar coordenadas polares no plano . As coordenadas polares são definidas por
Para integrar sobre um disco (ou parte dele) é muito prático usar coordenadas polares no plano
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Em coordenadas polares o elemento de área
transforma-se em
. Geometricamente isso vem porque um pequeno retângulo em
tem área aproximadamente
(o comprimento na direção angular é
).
Aplicando isso ao nosso problema:
- Como estamos no primeiro quadrante (
, ), o ângulo varia entre
- O raio vai de
até por causa de :
- E
fica entre e :
Passo 3
Transformar a integranda e escrever a integral em coordenadas polares.
A integranda em termos de fica simples porque
A integranda em termos de
O elemento de volume
vira
. Portanto o integrando completo é
Assim a integral tripla se reescreve como
Passo 4
Integrar em
primeiro (mostrando passo a passo).
A função não depende de
, então a integral em
é direta:
A função
Substituindo na integral obtemos
Passo 5
Integrar em
.
Calcule a integral em :
Calcule a integral em
Então sobra a integral em
:
Passo 6
Integrar em
e concluir.
Agora integramos em :
Agora integramos em
Portanto o valor da integral tripla sobre
é
.