Exercício 67. Calcule \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq\right. 0, y \geq 0,-1 \leq z \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy\,dz,
onde a região W é dada por
  • \;x^{2}+y^{2}\leq 1 (disco de raio 1 no plano xy),
  • \;x\geq 0 e \;y\geq 0 (apenas o primeiro quadrante no plano xy),
  • \;-1\leq z\leq 1 (altura constante em z entre -1 e 1).
Resumo do que foi dado:
  • A projeção de W no plano xy é um quarto de disco de raio 1.
  • Em z a região vai de -1 a 1.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral tripla acima sobre W.

Passo 2

Escolher coordenadas e descrever limites em detalhe (explicação didática).
Para integrar sobre um disco (ou parte dele) é muito prático usar coordenadas polares no plano xy. As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde \;r\geq 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Em coordenadas polares o elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Geometricamente isso vem porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta (o comprimento na direção angular é r\,d\theta).
Aplicando isso ao nosso problema:
  • Como estamos no primeiro quadrante ( x\geq 0, y\geq 0), o ângulo varia entre
0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.
  • O raio vai de 0 até 1 por causa de x^{2}+y^{2}\leq 1:
0\leq r \leq 1.
  • E z fica entre -1 e 1:
-1\leq z \leq 1.

Passo 3

Transformar a integranda e escrever a integral em coordenadas polares.
A integranda em termos de r,\theta fica simples porque
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
O elemento de volume dx\,dy\,dz vira r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto o integrando completo é
(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy\,dz = r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.
Assim a integral tripla se reescreve como
\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-1}^{1} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integrar em z primeiro (mostrando passo a passo).
A função r^{3} não depende de z, então a integral em z é direta:
\int_{z=-1}^{1} r^{3}\,dz = r^{3}\cdot\bigl(1-(-1)\bigr) = 2r^{3}.
Substituindo na integral obtemos
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} 2r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em r.
Calcule a integral em r:
\int_{r=0}^{1} 2r^{3}\,dr = 2\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
Então sobra a integral em \theta:
\int_{\theta=0}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,d\theta.

Passo 6

Integrar em \theta e concluir.
Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Portanto o valor da integral tripla sobre W é \dfrac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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