Exercício 68. Calcule
, onde
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
- O enunciado pede para calcular a integral tripla
- A região
é
- Informações importantes que eu tenho da região:
- No plano
, a projeção é o disco unitário restringido a e . Ou seja, é o quarto de disco no quadrante com positivo e negativo. - Em
a região é simplesmente o segmento , o mesmo para todo na projeção.
- No plano
- Objetivo: encontrar o valor numérico da integral tripla sobre
.
Passo 2
Argumento que permite passar a integral tripla para uma integral iterada e a escolha da ordem de integração.
- A função
é contínua em todo , logo é integrável em qualquer conjunto limitado como . Pelo Teorema de Fubini (ou teorema de integração iterada) posso escrever a integral como uma integral iterada. Uma forma conveniente é primeiro integrar em e depois em :
onde
é a projeção de
no plano
.
- Explicando de forma prática: para cada par
fixo em , eu calculo a integral de em de a , depois integro o resultado sobre em .
Passo 3
Calculo da integral interna em
e observação da propriedade de função ímpar.
- Para
fixos, e são constantes em relação a , então posso fatorar para fora da integral em :
- Calculo direto:
- Observação conceitual (útil para prova/tempo de prova): a função
é ímpar, isto é, ; a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico vale zero por cancelamento par-a-par. Aqui .
Passo 4
Concluir que a integral tripla é zero, usando o resultado do Passo 3.
- Como para todo
vale , a integral dupla sobre do resultado é
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