Exercício 68. Calcule \iiint_{W} x y z d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \leq\right. 0,-1 \leq z \leq 1\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} x y z\,dx\,dy\,dz.
  • A região W é
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; x\ge 0,\; y\le 0,\; -1\le z\le 1\}.
  • Informações importantes que eu tenho da região:
    • No plano xy, a projeção é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1 restringido a x\ge 0 e y\le 0. Ou seja, é o quarto de disco no quadrante com x positivo e y negativo.
    • Em z a região é simplesmente o segmento -1\le z\le 1, o mesmo para todo (x,y) na projeção.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico da integral tripla sobre W.

Passo 2

Argumento que permite passar a integral tripla para uma integral iterada e a escolha da ordem de integração.
  • A função f(x,y,z)=xyz é contínua em todo \mathbb{R}^3, logo é integrável em qualquer conjunto limitado como W. Pelo Teorema de Fubini (ou teorema de integração iterada) posso escrever a integral como uma integral iterada. Uma forma conveniente é primeiro integrar em z e depois em x,y:
\iiint_{W} x y z\,dx\,dy\,dz = \iint_{D}\left(\int_{-1}^{1} x y z\,dz\right)dx\,dy,
onde
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; x\ge 0,\; y\le 0\}
é a projeção de W no plano xy.
  • Explicando de forma prática: para cada par (x,y) fixo em D, eu calculo a integral de xyz em z de -1 a 1, depois integro o resultado sobre (x,y) em D.

Passo 3

Calculo da integral interna em z e observação da propriedade de função ímpar.
  • Para (x,y) fixos, x e y são constantes em relação a z, então posso fatorar xy para fora da integral em z:
\int_{-1}^{1} x y z\,dz = x y \int_{-1}^{1} z\,dz.
  • Calculo direto:
\int_{-1}^{1} z\,dz = \left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{2}\cdot 1^{2} - \tfrac{1}{2}\cdot (-1)^{2} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
  • Observação conceitual (útil para prova/tempo de prova): a função z\mapsto z é ímpar, isto é, z(-t)=-z(t); a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-a,a] vale zero por cancelamento par-a-par. Aqui \int_{-1}^{1} z\,dz=0.

Passo 4

Concluir que a integral tripla é zero, usando o resultado do Passo 3.
  • Como para todo (x,y)\in D vale \int_{-1}^{1} x y z\,dz= xy\cdot 0 = 0, a integral dupla sobre D do resultado é
\iint_{D} 0 \,dx\,dy = 0.
  • Logo
\iiint_{W} x y z\,dx\,dy\,dz = 0.

Resposta

0

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