Exercício 71 : (UNICAMP) Se \alpha, \beta e \gamma são as raízes de x^{3}-x^{2}-4 x+4=0, calcule \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
x^{3} - x^{2} - 4x + 4 = 0
cujo conjunto de raízes é \{\alpha,\beta,\gamma\}.
Queremos calcular
\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}.
O conteúdo principal aqui é usar as fórmulas de Viète e a identidade para a soma dos quadrados das raízes.

Passo 2

Para um polinômio monico
x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0
as fórmulas de Viète dizem que
\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = -a,\\\ \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = b,\\\ \alpha\beta\gamma = -c. \end{cases}
No nosso caso temos
x^{3} - x^{2} - 4x + 4 = 0
logo a = -1, b = -4 e c = 4.
Portanto
\alpha + \beta + \gamma = -(-1) = 1,
\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = -4.

Passo 3

Usamos a identidade que relaciona soma de quadrados e somas simétricas de ordem 1 e 2:
\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} \;-\; 2\,(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma).

Passo 4

Substituindo os valores encontrados:
(\alpha + \beta + \gamma)^{2} = 1^{2} = 1,
-2\,(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma) = -2 \times (-4) = 8.
Logo
\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = 1 + 8 = 9.

Resposta

9

Exercícios relacionados