Exercício 70 : (IME) Prove que se
é um polinômio de grau
, então
pode ser escrito como:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo polinômio
de grau
coincide com sua série de Taylor de ordem
em torno de um ponto
, ou seja,
O conteúdo é a construção passo a passo da expansão de Taylor para polinômios, usando fatoração sucessiva e identificação das derivadas em
.
Passo 2
Como
é um polinômio, o polinômio
tem
como raiz, logo é divisível por
. Escrevemos
onde
ainda é um polinômio de grau
. Para encontrar
, derivamos em
e avaliamos em
:
Passo 3
Agora fatoramos novamente
em torno de
: como
, temos
Substituindo em
:
Passo 4
Repetindo este procedimento
vezes, obtemos por indução que existe um polinômio
de grau
tal que
e mais, ao derivar
vezes e avaliar em
, vê-se que
Passo 5
Para
o polinômio
teria grau
, logo deve ser o polinômio zero. Desse modo a parte remanescente desaparece e sobra exatamente