Exercício 70 : (IME) Prove que se P(x) é um polinômio de grau n, então P(x) pode ser escrito como:
P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo polinômio P(x) de grau n coincide com sua série de Taylor de ordem n em torno de um ponto a, ou seja,
P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}.
O conteúdo é a construção passo a passo da expansão de Taylor para polinômios, usando fatoração sucessiva e identificação das derivadas em a.

Passo 2

Como P(x) é um polinômio, o polinômio P(x)-P(a) tem x=a como raiz, logo é divisível por (x-a). Escrevemos
P(x)=P(a)+(x-a)\,Q_{1}(x),
onde Q_{1}(x) ainda é um polinômio de grau n-1. Para encontrar Q_{1}(a), derivamos em x e avaliamos em x=a:
P'(x)=0+1\cdot Q_{1}(x)+(x-a)\,Q_{1}'(x) \quad\Longrightarrow\quad P'(a)=Q_{1}(a).

Passo 3

Agora fatoramos novamente Q_{1}(x) em torno de a: como Q_{1}(a)=P'(a), temos
Q_{1}(x)=Q_{1}(a)+(x-a)\,Q_{2}(x) =P'(a)+(x-a)\,Q_{2}(x).
Substituindo em P(x):
P(x)=P(a)+P'(a)(x-a)+(x-a)^{2}\,Q_{2}(x).

Passo 4

Repetindo este procedimento k vezes, obtemos por indução que existe um polinômio Q_{k+1}(x) de grau n-(k+1) tal que
P(x) =\sum_{j=0}^{k}\frac{P^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j} +(x-a)^{k+1}\,Q_{k+1}(x),
e mais, ao derivar k+1 vezes e avaliar em x=a, vê-se que
Q_{k+1}(a)=\frac{P^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}.

Passo 5

Para k=n o polinômio Q_{n+1}(x) teria grau n-(n+1)=-1, logo deve ser o polinômio zero. Desse modo a parte remanescente desaparece e sobra exatamente
P(x)=\sum_{j=0}^{n}\frac{P^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j}.

Resposta

P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}.

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