Exercício 72. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
f(x, y)=raiz4-x^2-2 y^2 em (1, 12).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no ponto l(1,tfrac12r), a direção e o sentido em que a função f(x,y)=raiz4 - x^2 - 2 y^2 cresce mais rapidamente e onde ela decresce mais rapidamente. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f por regra da cadeia. Como
f(x,y)=l(4 - x^2 - 2y^2r)^1/2,
temos
partial fpartial x =12l(4 - x^2 - 2y^2r)^-1/2cdot(-2x) =-xraiz4 - x^2 - 2y^2,
partial fpartial y =12l(4 - x^2 - 2y^2r)^-1/2cdot(-4y) =-2yraiz4 - x^2 - 2y^2

Passo 3

Avaliamo o gradiente em l(1,tfrac12r). Primeiro calculamos o denominador:
raiz4 - 1^2 - 2l(tfrac12r)^2 =raiz4 - 1 - tfrac12 =raiztfrac52
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nabla fl(1,tfrac12r) =l(-tfrac1raiz5/2,,-tfrac2cdot12raiz5/2r) =l(-tfrac1raiz5/2,,-tfrac1raiz5/2r)

Passo 4

O vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento. Para obter a direção (vetor unitário) dividimos por sua norma:
|nabla f|=raizl(-tfrac1raiz5/2r)^2+l(-tfrac1raiz5/2r)^2 =raiz2raiz5/2 =2raiz5
Assim o vetor unitário de maior crescimento é
nabla f|nabla f| =l(-tfrac1raiz5/2,-tfrac1raiz5/2r),/!tfrac2raiz5 =l(-tfracraiz22,-tfracraiz22r)
E o sentido de decrescimento mais rápido é o oposto:
l(tfracraiz22,tfracraiz22r).

Resposta

Cresce mais rapidamente na direção unitária l(-tfracraiz22,-tfracraiz22r).
Decresce mais rapidamente na direção unitária l(tfracraiz22,tfracraiz22r).

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