Exercício 72. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
em
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, no ponto
, a direção e o sentido em que a função
cresce mais rapidamente e onde ela decresce mais rapidamente. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
por regra da cadeia. Como
temos
Passo 3
Avaliamo o gradiente em
. Primeiro calculamos o denominador:
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Passo 4
O vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento. Para obter a direção (vetor unitário) dividimos por sua norma:
Assim o vetor unitário de maior crescimento é
E o sentido de decrescimento mais rápido é o oposto:
.
Resposta
Cresce mais rapidamente na direção unitária
.
Decresce mais rapidamente na direção unitária .
Decresce mais rapidamente na direção unitária