Encontre as medidas dos ângulos do triângulo cujos vértices são A=(1,0), B=(2,1) e C=(-1,2).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo ABC:
A=(1,0), B=(2,1), C=(-1,2)
O conteúdo aqui é geometria analítica no plano: para achar os ângulos, vamos precisar 1) calcular as distâncias entre os vértices (comprimento dos lados) usando a fórmula da distância e 2) aplicar a Lei dos Cossenos para cada ângulo.

Passo 2

Calcular os comprimentos dos lados AB, BC e CA pela fórmula
d(P,Q)=raiz(xQ-xP)^2+(yQ-yP)^2
Para AB:
AB = raiz(2-1)^2+(1-0)^2 = raiz1+1 = raiz2
Para BC:
BC = raiz(-1-2)^2+(2-1)^2 = raiz(-3)^2+1^2 = raiz9+1 = raiz10
Para CA:
CA = raiz(1-(-1))^2+(0-2)^2 = raiz2^2+(-2)^2 = raiz4+4 = 2raiz2

Passo 3

Nomeemos os lados de acordo com o vértice oposto:
a = BC = raiz10, b = CA = 2raiz2, c = AB = raiz2
Para encontrar o ângulo em A (denotado alpha), usamos a Lei dos Cossenos:
cos(alpha) = b^2 + c^2 - a^22,b,c
Substituindo b^2=8, c^2=2, a^2=10:
cos(alpha) = 8+2-102cdot(2raiz2)cdotraiz2 = 02cdot2raiz2,raiz2 =0 Longrightarrow alpha = arccos(0) = 90^circ

Passo 4

Para o ângulo em B (denotado beta), aplicamos
cos(beta) = a^2 + c^2 - b^22,a,c = 10 + 2 - 82cdotraiz10cdotraiz2 = 42raiz20 = 44raiz5 = 1raiz5
Logo
beta = arccos!l(1raiz5r)approx 63,43^circ

Passo 5

Para o ângulo em C (denotado gamma), podemos usar que a soma dos ângulos internos vale 180^circ:
gamma = 180^circ - alpha - beta = 180^circ - 90^circ - 63,43^circ approx 26,57^circ

Resposta

ang<= A = 90^circ, ang<= B approx 63,43^circ, ang<= C approx 26,57^circ

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