Verifique que é exata e resolva.
(3 x^2+y) d x+(x+4 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(3x^2+y),dx + (x+4y),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. Para isso, vamos identificar
M(x,y)=3x^2+y e N(x,y)=x+4y,
verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial y(3x^2+y) =1,
partial Npartial x = partialpartial x(x+4y) =1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial F(x,y), integramos M em relação a x:
integral M(x,y),dx =integral (3x^2+y),dx = x^3+xy + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Derivando F(x,y)=x^3+xy + h(y) em relação a y, obtemos
partial Fpartial y = x + h'(y),
que deve coincidir com N(x,y)=x+4y. Logo
h'(y)=4y Longrightarrow h(y)=2y^2
Assim a função potencial completa é
F(x,y)=x^3+xy+2y^2

Passo 5

A solução geral da equação diferencial exata vem de
F(x,y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^3+xy+2y^2=C

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